Исследовать на сходимость ряд $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin \left(\frac{\sin n}{\sqrt[3]n} \right)$$

задан 1 Май '15 1:53

изменен 1 Май '15 22:52

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%a_n=\frac{\sin n}{\sqrt[3]n}$%. Ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$% сходится по признаку Дирихле. Действительно, частичные суммы вида $%\sin1+\sin2+\cdots+\sin n$% равномерно ограничены, что следует из известной формулы для суммирования синусов кратных углов, а последовательность $%\frac1{\sqrt[3]n}$% монотонно стремится к нулю.

Теперь заметим, что $%\sin x=x-\frac{x^3}6+O(x^5)$% при $%x\to0$%. Ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n^3=\frac{\sin^3n}{n}$% также сходится, поскольку $%\sin^3n=\frac{3\sin n-\sin3n}4$%, и для частичных сумм $%\sin3+\sin6+\cdots+\sin3n$% также выполнено свойство равномерной ограниченности. Что касается ряда $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}O(a_n^5)$%, то он сходится абсолютно, поскольку его члены по модулю не превосходят членов сходящегося ряда $%C\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{5/3}}$%. Таким образом, ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin a_n^3$% из условия задачи сходится.

ссылка

отвечен 1 Май '15 13:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,811
×627
×334

задан
1 Май '15 1:53

показан
405 раз

обновлен
1 Май '15 13:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru