$$y^{2} + (x^{2} - xy)y'=0, y=tx, y=y(t)$$ Знакома только с заменой вида $%x = u$%, $%u = u(t)$%, $%y = ...$%

Тут можно так сделать?

$$x = u, \ u = u(t), \ y = tx = y(t).$$ Получится: $$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{u + tu'_t}{u'_t} $$ И дальше понятно как тогда.

задан 1 Май '15 17:09

изменен 1 Май '15 22:39

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Какая-то непонятная замена...

Вообще-то это однородное уравнение ... тут используется замена $%y = x\cdot u$%, где $%u(x)$% - новая искомая функция ... в результате получите уравнение с разделяющимися переменными...

ссылка

отвечен 1 Май '15 17:22

изменен 1 Май '15 17:22

То есть $%t = u(x)$%? Но $%t$% ведь независимая переменная.

(1 Май '15 17:36) Ovod

Но t ведь независимая переменная - тогда не понятно, что у Вас происходит с иксом (то есть старой переменной)...

(1 Май '15 17:41) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Замена $%z=y/x$%. При этом $%y'=(xz)'=z+xz'$%. После деления уравнения на $%x^2$% получится $%z^2+(1-z)(z+xz')=0$%, то есть $%z=x(z-1)z'$%. Это уравнение с разделяющимися переменными: $%\frac{dx}x=\frac{(z-1)dz}{z}$%. После интегрирования получится $%\ln C|x|=z-\ln|z|$%, откуда $%Cx=e^z/z$%, то есть $%Cy=e^{y/x}$%.

ссылка

отвечен 1 Май '15 17:23

А можно через $%t$% - независимую переменную и $%u$% - функцию? Мы только начали тему и я совсем не понимаю, что тут происходит, особенно, что такое разделяющиеся переменные.. Нужно только $%\frac {dy}{dx}$% получить через замену и подставить.

(1 Май '15 17:35) Ovod

@Ovod, уравнение с разделяющимися переменными - это простейший тип уравнений... с него всегда начинают...

А можно через $%t$% - независимую переменную и $%u$% - функцию? - обозначать можно как угодно... только должны быть чёткие равенства связи между старыми и новыми переменными... У Вас в топике такое равенство только одно, а заменить хотите обе переменные...

(1 Май '15 17:45) all_exist

@Ovod: уравнения с разделяющимися переменными -- это самый простой тип уравнений (кроме обычного интегрирования). Роль переменных здесь такая, что проще записывается обратная зависимость: $%x=x(y)$%. То есть можно $%y$% брать за независимую переменную, а $%x$% -- за функцию. То, что у Вас обозначено через $%t$%, здесь обозначено через $%z$%, то есть эта разница не принципиальна.

(1 Май '15 17:45) falcao

Наверное, я назвала неверно, мы диф-ые уравнения не проходим, это уже второй курс, у нас тема замены переменной в выражении с обыкновенными производными. Поэтому я не знаю, что такое разд. переменные. Но это не важно, достаточно просто $%y'$% по $%х$% найти. Я подумала, наверное, можно обозначить $%y = u x = u/t u = u(t)$%? Просто нужно именно через $%u$% и $%t$% получить. Тогда дальше получается все хорошо.

(1 Май '15 18:15) Ovod

@Ovod: здесь прозвучало два способа решения. Если по ним что-то непонятно -- спрашивайте. Требование по поводу того, что переменные должны обозначаться именно $%u$% и $%t$%, мне не кажется имеющим отношение к делу. Если хотите, можете обозначить так (я указал, что чему соответствует). Другое дело, что я не вижу смысла в замене обозначений. Если $%y=u$%, то зачем нужна новая буква, когда можно оставить старую?

(1 Май '15 18:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,158

задан
1 Май '15 17:09

показан
868 раз

обновлен
1 Май '15 18:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru