Правда ли, что единственным некомпактным одномерным многообразием является прямая? Просто достаточно легко заметить, что на упорядоченном множестве $%(0, 1] \cdot -\aleph_1+(0, 1)+ [0, 1) \cdot \aleph_1,$% где знак "-" означает множество с перевёрнутым порядком, а точка - лексикографическое умножение порядков, с порядковой топологией можно задать структуру $%C^1$%-многообразия. Понятно, что единственным компактным одномерным многообразием является окружность; но какие же существуют некомпактные, и как ответ на вопрос зависит от гладкости?

задан 1 Май '15 19:14

Там не от гладкости это дело зависит, а от условий типа хаусдорфовости. Если добавить несколько естественных ограничений, то можно доказать, что некомпактное одномерное многообразие -- это только прямая (вроде бы счётности базы достаточно, или чего-то более слабого). А без этих условий строятся всякие "монстры". Типа двух прямых, склееных по всем точкам, кроме одной.

(1 Май '15 19:29) falcao

Ограничение лишь одно - окрестность каждой точки диффеоморфна R (в смысле у каждой точки есть такая окрестность)

(1 Май '15 21:05) trongsund

@trongsund: при таком самом простом определении, без хаусдорфовости, примеров "монстров" довольно много.

(1 Май '15 21:50) falcao

Просто мой пример хаусдорфов и даже нормален, а также локально метризуем (но не имеет счётной базы, а также несепарабелен). Что же нужно?

(2 Май '15 0:08) trongsund

@trongsund: при отсутствии счётной базы такие примеры известны. Нужна хаусдорфовость и паракомпактность (как частный случай -- счётная база). Тогда только прямая получается.

(2 Май '15 1:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×65
×11

задан
1 Май '15 19:14

показан
244 раза

обновлен
2 Май '15 1:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru