Как можно показать отсутствие пределов: для функции $%f(x,y)=(x+y)\sin\frac{1}{x}\sin\frac{1}{y}$%

$$\lim\limits_{x \rightarrow 0}(\lim\limits_{y \rightarrow 0}f(x,y))$$

$$\lim\limits_{y \rightarrow 0}(\lim\limits_{x \rightarrow 0}f(x,y))$$

задан 1 Май '15 20:43

изменен 1 Май '15 22:46

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Функция симметричная, поэтому достаточно рассмотреть первый из пределов.

Зафиксируем $%x\ne0$%. Ясно, что при $%y\to0$% выражение $%(x+y)\sin\frac1x$% стремится к $%x\sin\frac1x$% при $%y\to0$%. Если $%x=\frac1{\pi k}$% для некоторого целого $%k\ne0$%, то предел равен нулю. При домножении на ограниченную функцию $%\sin\frac1y$% предел остаётся равным нулю.

Теперь предположим, что $%x$% не имеет указанного вида. Тогда число $%a=x\sin\frac1x$% отлично от нуля. Ввиду того, что синус числа $%\frac1y$% может принимать значения $%+1$% и $%-1$% при сколь угодно малых $%y$%, получается, что значение функции при $%y\to0$% имеет в качестве предельной точки как $%a$%, так и $%-a$%, поэтому предела не существует.

ссылка

отвечен 1 Май '15 20:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×815

задан
1 Май '15 20:43

показан
355 раз

обновлен
1 Май '15 20:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru