Является ли дифференцируемой в точке $%O(0;0)$% функция $%f(x;y)=\sqrt[3]{x^3+y^3}$% и

$%f(x;y)=e^{-\frac{1}{x^2}+y^2}$% при $%x^2+y^2>0$% и $%f(0;0) = 0$%.

Заранее благодарен!

задан 1 Май '15 21:37

изменен 1 Май '15 22:55

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

Для второй функции задание непонятно: она не определена при $%x=0$%.

(1 Май '15 21:49) falcao
1

Может быть, там всё-таки $%\exp({-\frac1{x^2+y^2}})$%? Тогда всё корректно, и такой пример смотрелся бы естественнее.

(1 Май '15 21:52) falcao

Наверно это и имеется ввиду, в упражнении очень мелко написано и без скобок.

(1 Май '15 22:53) Snaut
1

@Snaut: для второй функции в исправленном варианте очевиден положительный ответ, поскольку $%\exp(-\frac1{r^2})=o(r)$% при $%r\to0$%.

(1 Май '15 22:57) falcao

а можно еще раз про r? откуда оно в прошлом примере?

(1 Май '15 23:04) Snaut
1

@Snaut: это часть определения дифференцируемости для функции нескольких переменных. Если не до конца его помните -- перечитайте в учебнике. Число $%r=\sqrt{x^2+y^2}$% везде равно расстоянию от точки до начала координат. Это норма вектора $%(x,y)$%.

(1 Май '15 23:34) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Нет. Предположим, что $%\sqrt[3]{x^3+y^3}=Ax+By+o(r)$% для некоторых чисел $%A$%, $%B$% при $%r=\sqrt{x^2+y^2}\to0$%. Полагая $%y=-x$%, получим нулевую функцию. Это значит, что $%A=B$%. Полагая $%y=x$%, получим $%\sqrt[3]2x$%, откуда $%A=B=\sqrt[3]2/2$%. С другой стороны, при $%y=0$% получается функция $%x$%, откуда $%A=1$%. Аналогично, $%B=1$%. Это даёт противоречие.

ссылка

отвечен 1 Май '15 21:47

А вот еще вопросик, почему мы пришли к противоречию?
Ведь подставляя ПО ОЧЕРЕДИ $%y=0$% и $%x=0$% получим 1, но ранее мы не подставляли по очереди, мы ставили одновременно $%x=y$%.

Не понятно как-то...

(2 Май '15 23:27) Snaut
1

@Snaut: если равенство верно в окрестности точки, то можно делать любые подстановки, получая частные случаи. Можно брать $%y=x$%, можно отдельно брать $%y=-x$%, можно отдельно брать $%y=0$% и $%x \to 0$%, и так далее -- от этого зависит, какое из направлений для стремления к нулю мы выбираем. Если есть дифференцируемость, по всем этим направлениями результаты должны совпадать.

Случай $%y=x$% -- это стремление по биссектрисе угла. Случай $%x=0$% -- стремление по оси ординат, и так далее. Можно было бы брать и $%y=2x$% -- что угодно.

(2 Май '15 23:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×88

задан
1 Май '15 21:37

показан
345 раз

обновлен
2 Май '15 23:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru