а)$% \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x+2)^2}{3x^2+x+10}=\frac{(2+2)^2}{3*2^2+2+10}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$%

б)$% \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos^2x}{9sin^210x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin^2x}{9sin^210x}=\frac{0}{0}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{9*(10x)^2}=\frac{1}{900}$%

в)$% \lim_{x \rightarrow 4} \frac{x^2-16}{\sqrt{x-1}-\sqrt{7-x}}=\frac{0}{0}=\lim_{x \rightarrow 4}\frac{(x-4)(x+4)(\sqrt{x-1}+\sqrt{7-x})}{(x-1)-(7-x)}=$% $%=\lim_{x \rightarrow 4}\frac{(x-4)(x+4)(\sqrt{x-1}+\sqrt{7-x})}{2x-8}=\lim_{x \rightarrow 4}\frac{(x-4)(x+4)(\sqrt{x-1}+\sqrt{7-x})}{2(x-4)}=$%

$%=\lim_{x \rightarrow 4}\frac{(x+4)(\sqrt{x-1}+\sqrt{7-x})}{2}=\frac{(4+4)(\sqrt{4-1}+\sqrt{7-4})}{2}$%

$%=\frac{8*2\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$%

г)$%\lim_{x \rightarrow \infty } (\frac{1-6x}{3-6x})^{5-x}=1^{\infty }=\lim_{x \rightarrow \infty } (\frac{3-6x-2}{3-6x})^{5-x}=\lim_{x \rightarrow \infty }(1+ (\frac{-2}{3-6x}))^{5-x}=$%

Пусть $%3-6x=-2y,$% тогда $%5-x=\frac{9}{2}-\frac{y}{3}$% и $%y\longrightarrow - \infty $% при $%x\longrightarrow \infty $%.

Переходя к переменной $%y$% получим :

$%\lim_{y\longrightarrow - \infty } (1+ \frac{1}{y})^{\frac{9}{2}-\frac{y}{3}}=(\lim_{y\longrightarrow - \infty } (1+ \frac{1}{y})^y)^{-\frac{1}{3}}*\lim_{y\longrightarrow - \infty } (1+ \frac{1}{y})^{\frac{9}{2}}=e^{-\frac{1}{3}}+1^{\frac{9}{2}}=e^{-\frac{1}{3}}$%

задан 2 Май '15 15:00

изменен 7 Май '15 21:20

Допустим, дана дробь, у которой и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Тогда считается, что у нас имеется неопределённость типа 0/0. Аналогично для всех остальных случаев. То есть тут всё буквально так и понимается. Правда, из этого не следует прямо никакой из способов решения. Факт "неопределённости" означает только то, что неприменим самый простой из способов решения. Типа того, что если числитель стремится к 3, а знаменатель к 2, то тогда предел равен 3/2.

(2 Май '15 15:50) falcao

@s1mka: нет, здесь же x стремится к 2, а не к бесконечности. Поэтому надо просто подставить значение x=2. Неопределённости здесь нет -- это один из самых простых примеров на нахождение пределов.

(2 Май '15 19:59) falcao

Может. Такие примеры иногда дают на самом начальном этапе. Здесь нужно чётко знать, какие факты применяются -- тогда не будет неуверенности. Здесь используется теорема о пределе частного (предел знаменателя отличен от нуля), а также тот факт, что для непрерывной функции предел всегда равен её значению.

(2 Май '15 20:06) falcao

@s1mka: После второго равенства снова ошибка. Нет таких действий с дробями! Воспользуйтесь эквивалентностью $$\sin x\sim x\text{ при }x\to0,$$ либо замечательным пределом $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1.$$

(3 Май '15 12:33) EdwardTurJ

@s1mka: Так.

(3 Май '15 13:48) EdwardTurJ

@s1mka: у Вас на месте одних задач и формул появляются другие. Мне кажется, так делать не надо, потому что обсуждение в комментариях становится непонятным. Если нет желания делать отдельный вопрос для простых примеров, то лучше просто дописывать следующее к предыдущему.

В примере с пределом при $%x \to 2$% знаменатель не обращается в ноль. В таких случаях достаточно подставить значение $%x=2$%.

(3 Май '15 14:41) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

В комментариях уже нет места -- приходится писать здесь.

В примерах такого типа с неопределённостями 0/0 часто удаётся сократить в числителе и знаменателе множитель, обращающийся в ноль. В данном случае это выглядит так: числитель раскладываем на множители, а также домножаем на сумму квадратных корней в числителе и знаменателе. При этом в знаменателе получается разность квадратов.

$%\frac{x^2-16}{\sqrt{x-1}-\sqrt{7-x}}=\frac{(x-4)(x+4)(\sqrt{x-1}+\sqrt{7-x})}{(x-1)-(7-x)}=\frac{(x+4)(\sqrt{x-1}+\sqrt{7-x})}2$% (в знаменателе получилось $%2x-8=2(x-4)$%, и на $%x-4$% сократили. Дальше остаётся подставить $%x=4$%.

По поводу примера со степенями: там удобно рассмотреть логарифм предела, но можно и непосредственно свести ко второму замечательному пределу. Ввиду того, что дробь стремится к 1, её удобно записать в виде "1 плюс нечто". Получится $%\frac{1-6x}{3-6x}=1+\frac2{6x-3}$%. При этом $%t=\frac2{6x-3}$% стремится к нулю. Мы знаем, что $%(1+t)^{1/t}$% стремится к $%e$% при этом условии. Поэтому в показателе степени, равном $%5-x$%, уместно осуществить деление и умножение на $%t$%. При этом получится, что выражение $%(1+t)^{1/t}$%, предел которого мы уже знаем, возводится в степень $%t(5-x)=\frac{2(5-x)}{6x-3}$%, предел которого при $%x\to\infty$% равен $%-1/3$%. Поэтому ответом будет $%e^{-1/3}$%.

ссылка

отвечен 3 Май '15 15:00

изменен 3 Май '15 20:20

@falcao почему у нас в дроби 2 а не -2?

(4 Май '15 10:27) s1mka

$$\frac1y=\frac{-2}{3-6x},5-x=\frac92-\frac y3,$$ $$\left(1+\left(\frac{-2}{3-6x}\right)\right)^{5-x}=\left(1+\frac1y\right)^{\frac92-\frac y3}=\left(\left(1+\frac1y\right)^{y}\right)^{-\frac13}\left(1+\frac1y\right)^{\frac92}\to e^{-\frac13}.$$

(4 Май '15 12:08) EdwardTurJ

@EdwardTurJ я не могу понять как у нас получается что $%5-x=...$%

(4 Май '15 12:19) s1mka
1

$$\frac1y=\frac{-2}{3-6x},3-6x=-2y,-6x=-2y-3,-x=-\frac13y-\frac12,5-x=-\frac13y+\frac92.$$

(4 Май '15 12:26) EdwardTurJ
1

@s1mka: 2 в числителе вместо -2 получилось из-за того, что я у знаменателя поменял знак (было 3-6x, стало 6x-3).

(4 Май '15 12:48) falcao

@EdwardTurJ спасибо я допустила глупейшую ошибка я посчитала что $%y=3-6x$% ну и следовательно решила все остальное неправильно

(4 Май '15 13:59) s1mka

@falcao в примере б у нас неопределеность 0/0?

(4 Май '15 14:00) s1mka
1

@s1mka: если имеется в виду пример 2 с косинусами и синусами, то там, конечно, имеется неопределённость типа 0/0. Это проверяется подстановкой.

(4 Май '15 14:03) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×110

задан
2 Май '15 15:00

показан
537 раз

обновлен
7 Май '15 21:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru