1) Доказать, что для неотрицательного самосопряженного преобразования $%\varphi$% найдется неотрицательное самосопряженное преобразование $%\psi$% такое, что $%\psi^2=\varphi$%. Необходима ли неотрицательность $%\varphi$%?
2) Доказать, что преобразование $%\psi$% однозначно определено.

задан 2 Май '15 17:05

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Матрица сопряжённого оператора диагонализируема; собственные числа вещественны. Поскольку преобразование неотрицательно определённое, все числа на диагонали неотрицательны. Извлекаем из них квадратные корни, и получаем матрицу преобразования $%\psi$% в том же базисе, квадрат которого равен $%\psi^2=\varphi$%. Ясно, что $%\psi$% также самосопряжённое и неотрицательное.

Неотрицательность необходима, так как можно взять, например, диагональную матрицу второго порядка с числами 1 и -1 на диагонали. Её определитель отрицателен, поэтому матрица не является квадратом матрицы с вещественными коэффициентами.

2) Единственность самосопряжённого неотрицательного преобразования $%\psi$% следует из единственности извлечения арифметического квадратного корня из неотрицательного числа. Действительно, $%\psi$% можно диагонализировать, потом возвести в квадрат, и тогда числа на диагонали станут теми же, какими они были у $%\varphi$%. Значит, эти числа были квадратными корнями из собственных значений $%\varphi$%.

ссылка

отвечен 2 Май '15 18:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

Известно, что для любого самосопряжённого преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов. Так как преобразование неотрицательно, все собственные значения положительны, а значит, возьмём $%\psi$% с теми же собственными векторами, что и $%\varphi,$% а $%\lambda_i(\psi)=\sqrt{\lambda_i(\varphi)}.$% Неотрицательность $%\varphi$% необходима, так как самосопряжённое преобразование в квадрате даёт непременно неотрицательное самосопряжённое, а $%\psi$% определено однозначно, так как собственные подпространства у него те же, что и у $%\varphi$%, а собственные значения каждого из них задаются однозначно таковыми у $%\varphi$%.

ссылка

отвечен 2 Май '15 18:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×938

задан
2 Май '15 17:05

показан
442 раза

обновлен
2 Май '15 18:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru