Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки $%z_0$%:

$$f(x) = \frac 1{z^2+z^3} \\ f(x) = \frac 1z - \frac 1{z+1} $$

А дальше не знаю что делать.

задан 2 Май '15 20:12

изменен 2 Май '15 21:02

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Вторая функция не равна первой.

Для первой функции всё просто: выделяем множитель $%z^{-2}$%, а потом раскладываем $%\frac1{z+1}$%. Но вообще-то надо сначала уточнить, об окрестности какой точки идёт речь.

(2 Май '15 20:17) falcao

В окрестностях точки $%z_0=0$%. Если разложить: $$\frac 1{z+1} = \sum \frac {-1^n}{z^{(n+1)}}.$$ А что делать с $%z^{-2}$%?

(2 Май '15 20:23) mynamepit

@mynamepit: просто домножить на него. Показатели степеней уменьшатся на 2.

(2 Май '15 20:58) falcao

@falcao, если на него домножить он же не пропадет, а просто перейдет в числитель? А если разложить на элементарные дроби, то получиться $%-\frac 1z+ \frac 1{z^2}+\frac 1{z+1}$% - это не правильно? А как можно разложить в ряд $%\frac 1z$%?

(2 Май '15 23:56) mynamepit

@mynamepit: при домножении на $%z^{-2}$% происходит вполне понятная вещь. Если был ряд, скажем, $%1-z+z^2-z^3+z^4+\cdots$%, то получится $%z^{-2}-z^{-1}+1-z+z^2+\cdots$%. Можно заметить, что при разложении на простейшие дроби получится в точности то же самое. Но первый способ чуть проще, потому что не надо искать это разложение.

P.S. Выражение $%1/z$% уже разложено в ряд Лорана: это $%z^{-1}$%, а коэффициенты при остальных степенях равны нулю.

(3 Май '15 1:57) falcao

@falcao, если $%z=-1$% и это особая точка, то |$%z|=1$%; $%|z|<1$% тогда $%f(x)=\frac 1{z^2+z^3}=z^{(-2)}-z^{(-1)}+1-z+z^2-z^3$% - это ответ.
В общем виде $%f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot z^n)+ \sum\limits_{n=-2}^{-1}(-1)^n \cdot z^n$%. Тогда $%\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot z^n$% - правильная часть, а $%\sum\limits_{n=-2}^{-1}(-1)^n \cdot z^n$% - главная часть. Или тут нет главной части?
Особой точкой есть только $%z=-1$%? Или $%z=0$% тоже особая точка? $%z=-1$% - полюс?

(3 Май '15 15:58) mynamepit

@mynamepit: обе точки $%z=0$% и $%z=-1$% являются особыми. Первая -- полюс порядка $%2$%, вторая -- полюс порядка $%1$%. Для точки $%z=0$% разложение уже получено, и ответ дан выше (только там ряд, а не конечная сумма). Если в окрестности точки $%z=-1$% тоже нужно указать разложение, то это отдельная задача. Тогда полезно сделать замену вида $%w=z+1$%, и разложить всё по степеням $%w$%.

(3 Май '15 16:05) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×54
×31

задан
2 Май '15 20:12

показан
666 раз

обновлен
3 Май '15 16:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru