При каком условии подматрица ортогональной матрицы также будет ортогональной?
Как это связано с тем, что если подпространство $%\mathcal L$% инвариантно относительно ортогонального преобразования $%\varphi$%, то его ортогональное дополнение $%\mathcal L^\perp$% также инвариантно относительно $%\varphi$%?

задан 3 Май '15 0:46

10|600 символов нужно символов осталось
1
  1. Матрица $%\mathcal A$% преобразования $%\varphi~-~$%ортогональная. Ортогональность в смысле равенства $%\mathcal A^T = \mathcal A^{-1}$% эквивалентна как ортонормированности по строкам, так и ортонормированности по столбцам , то есть $$ \begin{aligned} &a_{i1}a_{j1} + \ldots + a_{in}a_{jn} = 0\; ,\quad i \not= j\\ &a_{1i}a_{1j} + \ldots + a_{ni}a_{nj} = 0\; ,\quad i \not= j\\ &a_{i1}^2 + \ldots + a_{in}^2 = 1\\ &a_{1i}^2 + \ldots + a_{ni}^2 = 1 \end{aligned} $$ Поэтому, очевидно, подматрица ортогональной матрицы также будет ортогональной, если остальные элементы строк и столбцов, пересекающих подматрицу, равны нулю.

  2. Ортогональное преобразование взаимно однозначно, и потому переводит каждое подпространство в подпространство той же размерности. Так как $%\mathcal L$% инвариантно, имеем $%\varphi(\mathcal L) = \mathcal L$%. Если $%x \in \mathcal L$% а $%y \in \mathcal L^\perp$%, то $%0 = (x, y) = (\varphi(x), \varphi(y))$%. Таким образом, $%\varphi(y) \in \varphi(\mathcal L)^\perp$%. Но из $%\varphi(\mathcal L) = \mathcal L$% следует $%\varphi(\mathcal L)^\perp = \mathcal L^\perp$%. Поэтому $%\varphi(y) \in \mathcal L^\perp$%, то есть ортогональное дополнение инвариантного относительно ортогонального преобразования $%\varphi$% подпространства также инвариантно.

ссылка

отвечен 3 Май '15 16:43

Только вот связи между этими предложениями мне увидеть так и не удалось.

(3 Май '15 16:43) Poncho

@Poncho: мне тоже не очень понятно, что здесь имелось в виду под связью. Мне кажется, вопросы следует формулировать более точно. Математика -- всё-таки не гуманитарный предмет. Первый пункт так или иначе содержит всю информацию, а остальное -- это как бы уже "лирика" :)

(3 Май '15 20:09) falcao

@falcao, спасибо за поддержку :)

(3 Май '15 20:39) Poncho
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×982

задан
3 Май '15 0:46

показан
396 раз

обновлен
3 Май '15 20:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru