Пусть $%f_1, \ldots, f_k$% и $%f~-~$% линейные функции на линейном пространстве $%\mathcal L$%, и $%\mathcal N~-~$% множество таких векторов из $%\mathcal L$%, что $%f_1(x) = \ldots = f_k(x) = 0$%. Доказать, что $%f$% раскладывается по $%f_1, \ldots, f_k$% тогда и только тогда, когда $%f(x) = 0$% для всех $%x$% из $%\mathcal N$%.

задан 3 Май '15 0:53

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если функция $%f$% раскладывается по $%f_1$%, ... , $%f_k$%, то утверждение очевидно. Докажем обратное.

Выберем некоторый базис $%e_1$%, ... , $%e_m$% в $%\cal N$% (ясно, что оно является подпространством как пересечение ядер линейных функционалов). Дополним его до базиса пространства $%\cal L$% векторами $%e_{m+1}$%, ... , $%e_n$%. Пусть $%r=n-m$%. Рассмотрим матрицу $%A$% размером $%r\times k$%, состоящую из элементов $%a_{ij}$%, равных значениям функций $%f_1$%, ... , $%f_k$% на дополнительных векторах базиса: $%a_{ij}=f_j(e_{m+i})$%. Заметим, что строки этой матрицы линейно независимы. Действительно, в противном случае найдутся не равные одновременно нулю коэффициенты $%\lambda_i$% ($%1\le i\le r$%) такие, что $%\sum\limits_{i=1}^r\lambda_ia_{ij}=0$% для всех $%1\le j\le k$%. Это означает, что для всех таких $%j$% имеет место равенство $%f_j(v)=0$%, где $%v=\sum\limits_{i=1}^r\lambda_ie_{m+i}$%. Однако $%v$% не принадлежит $%\cal N$%, хотя значение всех функций списка на этом векторе равно нулю, что даёт противоречие.

Получается, что ранг матрицы $%A$% равен $%r$%, и таков же ранг линейной оболочки её столбцов, которая является подпространством $%\mathbb R^r$%. Из совпадения рангов следует совпадение подпространств. Это значит, что любой $%r$%-мерный вектор является линейной комбинацией столбцов матрицы $%A$%.

Возьмём такой вектор из значений функции $%f$% на элементах системы $%e_{m+1}$%, ... , $%e_n$%. Для него существуют коэффициенты $%\mu_1$%, ... , $%\mu_k$% такие, что он является линейной комбинацией столбцов матрицы $%A$% с этими коэффициентами. Это значит, что для любого $%i$% от $%1$% до $%r$% имеет место равенство $%f(e_{m+i})=\sum\limits_{j=1}^k\mu_ja_{ij}$%, то есть $%f(e_{m+i})=\sum\limits_{j=1}^k\mu_jf_j(e_{m+i})$%. Следовательно, $%f=\sum\limits_{j=1}^k\mu_jf_j$%, так как на векторах $%e_1$%, ... , $%e_m$% значения обеих функций также совпадают, будучи нулевыми.

ссылка

отвечен 3 Май '15 5:04

изменен 3 Май '15 5:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,387

задан
3 Май '15 0:53

показан
626 раз

обновлен
3 Май '15 10:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru