Пусть $%\mathcal E = \mathcal L_1 \oplus \mathcal L_2$%. Доказать, что проектирование на $%\mathcal L_1$% параллельно $%\mathcal L_2$% является самосопряжённым преобразованием тогда и только тогда, когда $%\mathcal L_2 = \mathcal L_1^\perp$%.

задан 3 Май '15 0:57

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%x=x_1+x_2$%, $%y=y_1+y_2$% -- произвольные векторы из $%\cal E$%, разложенные в сумму, где $%x_i,y_i\in{\cal L}_i$% при $%i=1,2$%. По определению, $%\varphi(x)=x_1$% и $%\varphi(y)=y_1$%, где $%\varphi$% -- проектирование. Самосопряжённость этого оператора означает, что $%(\varphi(x),y)=(x,\varphi(y))$%, то есть $%(x_1,y_1+y_2)=(x_1+x_2,y_1)$%, что равносильно $%(x_1,y_2)=(x_2,y_1)$%.

Если $%{\cal L}_2={\cal L}_1^{\perp}$%, то любой вектор из $%{\cal L}_1$% ортогонален любому вектору из $%{\cal L}_2$%, поэтому оба скалярных произведения равны нулю. Обратно, если $%x_1\in{\cal L}_1$% и $%y_2\in{\cal L}_2$% -- произвольные векторы, а в качестве $%x_2$% и $%y_1$% взять нулевые векторы, то из самосопряжённости следует равенство $%(x_1,y_2)=0$%, показывающее, что $%{\cal L}_1\perp{\cal L}_2$%. Ввиду того, что сумма подпространств равна всему пространству, они являются ортогональными дополнениями друг друга.

ссылка

отвечен 3 Май '15 5:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,014

задан
3 Май '15 0:57

показан
272 раза

обновлен
3 Май '15 10:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru