линейная-алгебра - Самосопряженное преобразование

Сравним выражения $%(\varphi(f),g)$% и $%(f,\varphi(g))$%. Первое из них равно $%(\varphi(f),g)=\int\limits_{-1}^1\varphi(f)(t)g(t)\,dt=\int\limits_{-1}^1\left(\int\limits_{-1}^1K(x,t)f(x)\,dx\right)g(t)\,dt=\iint\limits_{[-1,1]^2}K(x,t)f(x)g(t)\,dx\,dt$%.

Второе выражение равно $%(f,\varphi(g))=\int\limits_{-1}^1f(t)\varphi(g)(t)\,dt=\int\limits_{-1}^1f(t)\left(\int\limits_{-1}^1K(x,t)g(x)\,dx\right)\,dt=\iint\limits_{[-1,1]^2}K(x,t)f(t)g(x)\,dx\,dt$%.

Поменяем местами во втором выражении переменные $%x$% и $%t$%; получится $%\iint\limits_{[-1,1]^2}K(t,x)f(x)g(t)\,dx\,dt$%. Ясно, что из условия симметричности функции $%K$%, то есть из тождественного равенства $%K(x,y)=K(y,x)$%, будет следовать равенство $%(\varphi(f),g)=(f,\varphi(g))$%, то есть оператор $%\varphi$% самосопряжён.

Докажем обратное. Предположим, что $%\varphi$% самосопряжён, но при этом существует точка $%(x_0,t_0)\in[-1,1]^2$%, для которой $%L(x_0,t_0)=K(x_0,t_0)-K(t_0,x_0)\ne0$%. Нам достаточно подобрать такие непрерывные на отрезке $%[-1;1]$% функции $%f$% и $%g$%, чтобы имело место неравенство $%\iint\limits_{[-1,1]^2}L(x,t)f(x)g(t)\,dx\,dt\ne0$%. Это будет значить, что $%(\varphi(f),g)\ne(f,\varphi(g))$%.

Без ограничения общности можно считать, что $%L(x_0,t_0) > 0$%. Ввиду непрерывности функции $%K(x,y)$%, существуют некоторые окрестности точек $%x_0$% и $%t_0$% такие, что $%L(x,t) > \varepsilon_0$% для некоторой положительной константы, при условии, что точка $%(x,t)$% принадлежит декартову произведению этих окрестностей. Тогда достаточно выбрать $%f(x)$% равной 1 на некотором отрезке, лежащем внутри выбранной окрестности $%x_0$% и равной нулю за пределами этой окрестности. Части графиков соединяем по линейности, чтобы функция была непрерывной. Аналогично задаём функцию $%g(t)$%. Тогда ясно, что $%\iint\limits_{[-1,1]^2}L(x,t)f(x)g(t)\,dx\,dt > 0$%.