алгебра - Гомоморфные отображения

Пусть $%\langle a\rangle_8$% и $%\langle b\rangle_{12}$% -- группы из условия. Рассмотрим гомоморфизм $%\phi$% одной группы в другую (обе группы аддитивные). Тогда $%\phi(a)=mb$% для некоторого $%m$% от $%0$% до $%11$%. Мы знаем, что $%8a=0$%, откуда следует, что $%0=\phi(0)=\phi(8a)=8\phi(a)=8mb$%, откуда следует, что $%8m$% делится на $%12$%. Это условие равносильно тому, что $%2m$% делится на $%3$%, а потому и $%m$% делится на $%3$%.

Таким образом, $%m$% может принимать 4 значения: $%0$%, $%3$%, $%6$%, $%9$%. Для каждого из них имеется ровно один гомоморфизм с условием $%\phi(a)=mb$%. Эти гомоморфизмы можно оформить в виде таблицы. Столбцы соответствуют элементам группы $%\langle a\rangle_8$%. Это $%0$%, $%a$%, $%2a$%, ... , $%7a$%. Строки соответствуют значениям $%m$%. Например, при $%m=3$% получится строка $%0$%, $%3b$%, $%6b$%, $%9b$%, $%0$%, $%3b$%, $%6b$%, $%9b$%. Это образы элементов группы из заголовка таблицы при соответствующем гомоморфизме.

В общем случае, если рассматриваются циклические группы порядков $%m$% и $%n$% соответственно, число гомоморфизмов будет равно наибольшему общему делителю $%m$% и $%n$%. В данном примере НОД$%(8;12)=4$%.