Вычислить интеграл $$ \int \frac {e^z}{z^3+2}dz $$ по замкнутой кривой $%|z-i|=\frac 12$% используя основную теорему про вычеты.

Особыми точками являются нули знаменателя: $%z= \pm 2^{\frac 13} \cdot i$%.
В области, ограниченной окружностью $%|z-i|=\frac 12$%, содержится 1 особая точка $%z=i \cdot 2^{\frac 13}$%. Тогда $$ \int \frac {e^z}{z^3+2}dz $$ по замкнутой кривой $%|z-i|=\frac 12= 2\pi \cdot i \cdot Rez \ f(z)$% .

Вычеты: $$Rez \ f (i \cdot 2^{\frac 13}) = \lim\limits_{z \to i \cdot 2^{\frac 13}} \frac {(z-i*2^{\frac 13}) \cdot e^z}{z^3+2} = \\ = \lim\limits_{z \to i \cdot 2^{\frac 13}} \frac { (z-i\cdot 2^{\frac 13})\cdot e^z }{ (z+2^{\frac 13})\cdot(z^2-z \cdot 2^{\frac 13}+2^{\frac 16}) }= \\ = \frac {-e^{i \cdot 2^{\frac 13}}}{i \cdot 2^{\frac 16}}$$

Тогда $$ \int \frac {e^z}{z^3+2}dz $$ по замкнутой кривой $%|z-i|=\frac 12 = - \pi \cdot 2^{\frac 56} \cdot e^{i \cdot 2^{\frac 13}}$%

Правильное решение? Хотя бы ход решения правильный?

задан 3 Май '15 18:20

изменен 3 Май '15 19:44

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@mynamepit: начать надо действительно с нахождения нулей знаменателя, только они будут не такие. Надо решить уравнение $%z^3=-2$% и из трёх его корней отобрать те, которые лежат внутри кривой. У Вас корни найдены неверно, потому что из 2 извлечён корень 3-й степени, как и надо, а из -1 -- корень второй степени, то есть $%i$%. Это не соответствует тому, что нужно.

(3 Май '15 19:06) falcao

@falcao, вы правы. Спасибо за исправленную ошибку. Если замкнутая кривая $%|z-i|=\frac 12$%, то это по оси y нужно поднять на i? Или опустить? Тогда $%z=- \cdot 2^{\frac 13}$% не входит в область. Как такое может быть?

(3 Май '15 20:40) mynamepit

@mynamepit: центром окружности будет точка $%i$%, то есть от начала координат поднимается вверх.

То, что корни знаменателя не входят в область (а здесь ни один из трёх не войдёт -- круг слишком маленький), говорит о том, что функция в круге аналитична, и интеграл равен нулю. Надо только верно найти сами корни. Проще всего сделать это геометрически. Тогда проверка станет проще.

(3 Май '15 20:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,060
×411
×182
×65

задан
3 Май '15 18:20

показан
398 раз

обновлен
3 Май '15 20:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru