теория-групп - Идеал в кольце целочисленных многочленов

Идеал, порождённый элементами $%2$% и $%x$%, состоит из всех многочленов вида $%2u(x)+xv(x)$%, где $%u(x),v(x)\in{\mathbb Z}[x]$%. Ясно, что свободные члены здесь чётны (это удвоенный свободный член многочлена $%u$%). Обратное также очевидно, потому что многочлен с чётным свободным членом имеет вид $%2k+xf(x)$% для некоторого многочлена$%f(x)$% с целыми коэффициентами, то есть представим в таком виде.

Предположим, что $%I=(d(x))$% является главным. Тогда многочлены $%2$% и $%x$% являются кратными $%d(x)$%. Общим делителем того и другого многочлена может быть только $%\pm1$%, но тогда $%I$% совпадает со всем кольцом, что невозможно.

Для исследования факторколец часто бывает полезно применение теоремы о гомоморфизмах. В данном случае можно обойтись без неё, так как факторкольцо устроено очень просто. Оно состоит из двух элементов: $%I$% и $%1+I$%. Во втором смежном классе -- все многочлены с нечётным свободным членом. Поэтому можно заменить эти классы на элементы 0 и 1, которые складываются и умножаются по модулю 2, то есть дают поле из двух элементов.