Пусть $%I = (2,x)$% — идеал, порожденный множеством из двух элементов $%2$% и $%x$%, в кольце целочисленных многочленов $%Z[x]$%. Доказать, что:
а) идеал $%I$% состоит из всех многочленов с четными свободными членами;
б) идеал $%I$% не является главным;
в) факторкольцо $%Z[x]/I$% изоморфно $%Z_2$% — полю вычетов по модулю $%2$%.

задан 3 Май '15 22:14

10|600 символов нужно символов осталось
2

Идеал, порождённый элементами $%2$% и $%x$%, состоит из всех многочленов вида $%2u(x)+xv(x)$%, где $%u(x),v(x)\in{\mathbb Z}[x]$%. Ясно, что свободные члены здесь чётны (это удвоенный свободный член многочлена $%u$%). Обратное также очевидно, потому что многочлен с чётным свободным членом имеет вид $%2k+xf(x)$% для некоторого многочлена$%f(x)$% с целыми коэффициентами, то есть представим в таком виде.

Предположим, что $%I=(d(x))$% является главным. Тогда многочлены $%2$% и $%x$% являются кратными $%d(x)$%. Общим делителем того и другого многочлена может быть только $%\pm1$%, но тогда $%I$% совпадает со всем кольцом, что невозможно.

Для исследования факторколец часто бывает полезно применение теоремы о гомоморфизмах. В данном случае можно обойтись без неё, так как факторкольцо устроено очень просто. Оно состоит из двух элементов: $%I$% и $%1+I$%. Во втором смежном классе -- все многочлены с нечётным свободным членом. Поэтому можно заменить эти классы на элементы 0 и 1, которые складываются и умножаются по модулю 2, то есть дают поле из двух элементов.

ссылка

отвечен 3 Май '15 22:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×873
×374
×69
×43

задан
3 Май '15 22:14

показан
1797 раз

обновлен
3 Май '15 22:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru