Сумма идеалов $%I_1$% и $%I_2~-~$%это идеал, порождённый всеми суммами элементов из идеалов $%I_1$% и $%I_2$%. Аналогично, произведение идеалов $%I_1I_2~-~$%это идеал, порождённый всеми произведениями элементов из $%I_1$% и $%I_2$%. Пусть $%I_1$% порождён в $%\mathbb Q[x]$% многочленом $%x^2-x$%, а $%I_2$% порождён многочленом $%x^2+x$%. Найти $%I_1 + I_2$% и $%I_1I_2$%.

задан 3 Май '15 23:48

10|600 символов нужно символов осталось
1

Идеалу $%I_1+I_2$% принадлежат элементы $%x^2$% и $%x$%. Поскольку сами многочлены через них выражаются, идеал порождается $%x^2$% и $%x$%. Достаточно оставить из этих элементов только $%x$%. Получится главный идеал $%(x)$%, состоящий из всех многочленов с нулевым свободным членом.

Все многочлены идеала $%I_1I_2$% кратны $%(x^2-x)(x^2+x)=x^4-x^2$%. С другой стороны, сам этот элемент принадлежит произведению идеалов. Поэтому $%I_1I_2$% есть главный идеал, порождённый $%x^4-x^2$%. Состоит он из всех многочленов, делящихся на этот порождающий.

ссылка

отвечен 3 Май '15 23:56

А для произвольного числа идеалов верно ли что наименьший идеал, содержащий каждый из данных - это бесконечная сумма идеалов, определяемая как множество всех конечных R-линейных комбинаций элементов идеалов?

(20 Янв 6:42) Slater

@Slater: да, только тут даже не надо линейных комбинаций. Просто конечные суммы элементов этих идеалов.

(20 Янв 10:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×787
×337
×65

задан
3 Май '15 23:48

показан
604 раза

обновлен
20 Янв 10:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru