Доказать, что все конечные суммы $%\sum a_k2^{r_k}$% , где $%a_k$% — целые, а $%r_k$% — двоичнорациональные, относительно обычных операций сложения и умножения чисел образуют коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, в котором не существует разложения на простые множители.

задан 4 Май '15 1:09

Если дано, что числа $%r_k$% неотрицательны, то это довольно простой пример, и для него доказательство дать совсем легко. Если же разрешены отрицательные показатели степеней, то кольцо устроено более сложно, и тут требуется подумать.

(4 Май '15 1:27) falcao

@falcao, про неотрицательность $%r_k$% ничего не сказано, могут быть и отрицательные.

(4 Май '15 2:41) Uchenitsa
10|600 символов нужно символов осталось
2

То, что множество чисел из условия образует кольцо, достаточно очевидно. Оно замкнуто относительно сложения и вычитания, а также относительно умножения. Последнее вытекает из того, что произведение элементов вида $%a2^r$% и $%a'2^{r'}$% является элементом того же вида: $%aa'$% целое, $%r+r'$% двоично-рациональное. То, что в кольце нет делителей нуля, следует из того, что оно является подкольцом поля действительных чисел.

По поводу основной части у меня пока есть следующее соображение, которое я сейчас изложу. Не знаю, достаточно ли его, или здесь требуется установить какой-то более сильный факт.

Обычное разложение на простые множители устроено так. Мы берём число, и если оно составное, то раскладываем его на множители нетривиальным образом. Последнее означает, что ни один из сомножителей не обратим в кольце. Далее с этими сомножителями проделываем то же самое. Процесс оканчивается за конечное число шагов -- когда все сомножители окажутся простыми.

Покажем, что кольцо из условия задачи устроено по-другому. А именно, существуют элементы, которые можно нетривиальным способом раскладывать на множители бесконечно долго.

Рассмотрим следующее тождество, которое справедливо для любого кольца: $%x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$%.

Положим $%x=\sqrt2$% и рассмотрим число $%7$%. Оно имеет такое разложение в кольце: $%7=4+2+1=x^4+x^2+1=(2+\sqrt2+1)(2-\sqrt2+1)$%. Подобные слагаемые я здесь намеренно не привожу.

Теперь положим $%x=\sqrt[4]2$% и рассмотрим первый из сомножителей. Он равен $%x^4+x^2+1$%, поэтому имеет разложение $%2+\sqrt2+1=(\sqrt2+\sqrt[4]2+1)(\sqrt2-\sqrt[4]2+1)$%. Далее снова берём первый сомножитель, и при $%x=\sqrt[8]2$% раскладываем его аналогичным способом: $%\sqrt2+\sqrt[4]2+1=(\sqrt[4]2+\sqrt[8]2+1)(\sqrt[4]2-\sqrt[8]2+1)$%, и так далее. Этот процесс разложения можно продолжать бесконечно долго.

Теперь надо обосновать, что рассматриваемые разложения нетривиальны, то есть все встречающиеся в этом процессе сомножители необратимы в рассматриваемом кольце. Здесь потребуются некоторые сведения об алгебраических числах. Необходимый их минимум я сейчас попробую изложить.

Пусть дано алгебраическое число $%\alpha$%. Под таковым понимает комплексное число, которое является корнем некоторого многочлена степени $%\ge1$% над $%\mathbb Q$% (или над $%\mathbb Z$%, что эквивалентно). Среди таких многочленов можно указать многочлен минимальной степени, корнем которого данное число является. Если потребовать, чтобы старший коэффициент был равен 1, то такой многочлен единственен. Он называется минимальным многочленом данного числа $%\alpha$%. Например, у чисел $%\alpha=\frac34$%, $%\alpha=\sqrt2$%, $%\alpha=i$%, $%\alpha=\sqrt[16]2$% минимальные многочлены таковы: $%x-\frac34$%; $%x^2-2$%; $%x^2+1$%; $%x^{16}-2$%.

Над полем комплексных чисел минимальный многочлен можно разложить на множители: $%(x-\alpha_1)\ldots(x-\alpha_n)$%, где $%\alpha=\alpha_1$%. Числа $%\alpha_1$%, ... , $%\alpha_n$% (все они попарно различны) называются сопряжёнными алгебраическими числами. Для случае типа $%5\pm3\sqrt2$% или $%4\pm3i$% эти понятия совпадают с "обычными". Произведение всех сопряжённых корней, равное $%\alpha_1\ldots\alpha_n$%, называется нормой алгебраического числа $%\alpha$% и обозначается $%N(\alpha)$%. Оно является свободным членом минимального многочлена (с точностью до знака), и поэтому принимает рациональные значения. Например: $%N(\sqrt2)=-2$%, $%N(3+4i)=25$%; $%N(\sqrt[8]2)=-2$%, и так далее.

Известно, что норма произведения чисел равна произведению их норм. Этот факт может быть доказан с использованием некоторых сведений из курса алгебры. При этом норма любого элемента рассматриваемого в условии кольца есть двоично-рациональное число. У тех чисел, которые появлялись в ходе описанного выше процесса, после перемножения сопряжённых элементов норма оказывается равна $%7$%, то есть того элемента, с которого всё начиналось. Если допустить, что какой-то из сомножителей вида $%\sqrt[n+1]2\pm\sqrt[n]2+1$% обратим в нашем кольце, то окажется, что при умножении $%7$% на двоично-рациональное число получается единица, что очевидным образом невозможно.

ссылка

отвечен 4 Май '15 4:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×60
×18
×15

задан
4 Май '15 1:09

показан
903 раза

обновлен
4 Май '15 4:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru