Доказать, что если $%H~-~$%собственная подгруппа конечной группы $%G$%, то объединение сопряжённых с $%H$% подгрупп не содержит всех элементов группы $%G$%.

задан 4 Май '15 23:37

изменен 24 Май '15 12:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Этот факт получается как следствие теорем Силова, но сам по себе он более простой, то есть имеет смысл рассмотреть прямое доказательство.

Пусть $%n > 1$% -- индекс подгруппы $%H$%. Проверим, что количество сопряжённых с $%H$% подгрупп не превосходит $%n$%. Действительно, условие $%a^{-1}Ha=b^{-1}Hb$% для некоторых элементов группы будет заведомо выполнено, если $%ab^{-1}\in H$%, то есть $%Ha=Hb$%. Это имеет место в случае принадлежности элементов $%a$%, $%b$% одному и тому же правому смежному классу по $%H$%. Таких смежных классов $%n$%, поэтому и различных подгрупп вида $%g^{-1}Hg$% не превосходит $%n$%. (Точное количество сопряжённых подгрупп равно индексу нормализатора, но сейчас это не нужно.)

Итак, пусть $%H_1$%, ... , $%H_m$% -- это все подгруппы, сопряжённые $%H$%, где $%m\le n$%. В каждой из них ровно $%|H|$% элементов, причём $%|G|=n|H|$% по определению индекса подгруппы. Если допустить, что $%G=H_1\cup\cdots\cup H_m$%, то $%n|H|=|G|\le|H_1|+\cdots+|H_m|=m|H|\le n|H|$%. Равенство здесь возможно только при $%m=n$%, причём никакие два множества не должны пересекаться. Но у нас все подгруппы списка имеют общий единичный элемент, что в итоге даёт противоречие.

Заметим, что для бесконечных групп рассматриваемое утверждение в общем случае неверно, то есть условие конечности в формулировке существенно.

ссылка

отвечен 5 Май '15 0:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×749
×332

задан
4 Май '15 23:37

показан
444 раза

обновлен
24 Май '15 12:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru