математический-анализ - Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления

Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

$%y=2x^3+15x^2+36x+32$%

1.Область определения функции. $%D(y):x \epsilon (-\infty ; +\infty )$%.

2.Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения.

3.Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств $%y(-x)=y(x)$% (тогда $%y(x)$% – четная функция) или $%y(-x)=-y(x)$% (для нечетной функции): $%y(-x)=2(-x)^3+15(-x)^2+36(-x)+32=-2x^3+15x^2-36x+32\neq \begin{cases}y(x)\\-y(x)\end{cases} $% т.е. данная функция не является ни четной, ни нечетной, а ее график не имеет симметрии.

4.Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную: $%y'=6x^2+30x+36$%

$%y'=0$% при $%x_1=-3,x_2=-2$%. Тем самым имеем две критические точки:$%x_1=-3,x_2=-2$%. Разобьем числовую ось на три интервала: $% (-\infty ; -3] ,[-3;-2], [-2;+\infty )$%. В первом и третьем интервалах положительна, следовательно, здесь функция возрастает; во втором интервале — отрицательна и данная функция убывает.

При переходе через точку $%x=-3$% меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум : $%y_{max}=y(-3) = 2(-3)^3+15(-3)^2+36(-3)+32=5$% . Значит, $% (-2; 5)$% – точка максимума.

При переходе через точку $%x=-2$% меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум : $%y_{min}=y(-2) = 2(-2)^3+15(-2)^2+36(-2)+32=4$% . Значит, $% (-2; 4) $%– точка минимума.

5.Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную: $%y''=12x+30$%

$%y'' =0$% при $%x=- \frac{5}{2}$%. Разобьем числовую ось на два интервала: $% (-\infty ; - \frac{5}{2}] ,[- \frac{5}{2};+\infty )$%. На первом интервале $%y''$% отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором $%y'' >0$% , тем самым график является вогнутым. При переходе через точку $%x=- \frac{5}{2}$% $%y'' =0$% меняет свой знак, поэтому $%x=- \frac{5}{2}$% – абсцисса точки перегиба. Следовательно, $%(- \frac{5}{2};\frac{9}{2} )$% – точка перегиба графика функции

6.Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде $%y=k x+ b$%.По определению асимптоты: $% \lim_{x \rightarrow \infty }(kx+b-y(x)) $%

Находим коэффициент $%k$%:$% k=\lim_{x \rightarrow \infty }\frac{y(x)}{x} $%

$% k=\lim_{x \rightarrow \infty }\frac{2x^3+15x^2+36x+32}{x}=\infty $%

Поскольку коэффициент $%k$% равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

7.Чертеж. link text