Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

$%y=2x^3+15x^2+36x+32$%

1.Область определения функции. $%D(y):x \epsilon (-\infty ; +\infty )$%.

2.Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения.

3.Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств $%y(-x)=y(x)$% (тогда $%y(x)$% – четная функция) или $%y(-x)=-y(x)$% (для нечетной функции): $%y(-x)=2(-x)^3+15(-x)^2+36(-x)+32=-2x^3+15x^2-36x+32\neq \begin{cases}y(x)\\-y(x)\end{cases} $% т.е. данная функция не является ни четной, ни нечетной, а ее график не имеет симметрии.

4.Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную: $%y'=6x^2+30x+36$%

$%y'=0$% при $%x_1=-3,x_2=-2$%. Тем самым имеем две критические точки:$%x_1=-3,x_2=-2$%. Разобьем числовую ось на три интервала: $% (-\infty ; -3] ,[-3;-2], [-2;+\infty )$%. В первом и третьем интервалах положительна, следовательно, здесь функция возрастает; во втором интервале — отрицательна и данная функция убывает.

При переходе через точку $%x=-3$% меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум : $%y_{max}=y(-3) = 2(-3)^3+15(-3)^2+36(-3)+32=5$% . Значит, $% (-2; 5)$% – точка максимума.

При переходе через точку $%x=-2$% меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум : $%y_{min}=y(-2) = 2(-2)^3+15(-2)^2+36(-2)+32=4$% . Значит, $% (-2; 4) $%– точка минимума.

5.Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную: $%y''=12x+30$%

$%y'' =0$% при $%x=- \frac{5}{2}$%. Разобьем числовую ось на два интервала: $% (-\infty ; - \frac{5}{2}] ,[- \frac{5}{2};+\infty )$%. На первом интервале $%y''$% отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором $%y'' >0$% , тем самым график является вогнутым. При переходе через точку $%x=- \frac{5}{2}$% $%y'' =0$% меняет свой знак, поэтому $%x=- \frac{5}{2}$% – абсцисса точки перегиба. Следовательно, $%(- \frac{5}{2};\frac{9}{2} )$% – точка перегиба графика функции

6.Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде $%y=k x+ b$%.По определению асимптоты: $% \lim_{x \rightarrow \infty }(kx+b-y(x)) $%

Находим коэффициент $%k$%:$% k=\lim_{x \rightarrow \infty }\frac{y(x)}{x} $%

$% k=\lim_{x \rightarrow \infty }\frac{2x^3+15x^2+36x+32}{x}=\infty $%

Поскольку коэффициент $%k$% равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

7.Чертеж. link text

задан 5 Май '15 18:35

изменен 5 Май '15 19:57

В принципе, всё верно. Несколько мелких замечаний: из того, что функция не является ни чётной, ни нечётной, следует отсутствие только определённых типов симметрии графика, но какие-то другие в принципе могут быть.

Далее, у кубического многочлена есть один корень $%x=-4$%. Полезно где-то отметить, что сам многочлен разложим на множители: $%(x+4)(2x^2+7x+8)$%. Других действительных корней нет.

Точка перегиба -- именно такая. Она находится чуть левее точки $%(-2;4)$%, являющейся точкой локального минимума.

(5 Май '15 19:49) falcao

@falcao я не могу понять к какому пункту мне следует это отнести?

(5 Май '15 19:54) s1mka

@s1mka: если Вы следуете пунктам какой-то конкретной схемы, то там бывает такой пункт как нахождение нулей функции. Их не всегда можно найти, но если можно, то обычно отмечают. Поместить это разумнее всего перед нахождением нулей производной. Там же можно отметить промежутки положительности и отрицательности.

(5 Май '15 20:18) falcao

@falcao я по этому плану делала Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума; 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции; 7) сделать чертеж.

(5 Май '15 20:51) s1mka

@s1mka: всё это достаточно стандартно. Есть те или иные варианты схемы, где какие-то пункты могут дополнительно присутствовать, или отсутствовать. Я просто заметил, что нахождение нулей функции и промежутков положительности - отрицательности также уместно включить. Это, кроме всего прочего, помогает нарисовать график, и так далее.

(5 Май '15 21:16) falcao

@falcao спасибо учту на будущее

(5 Май '15 23:40) s1mka
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,063
×1,667
×950
×577

задан
5 Май '15 18:35

показан
2261 раз

обновлен
5 Май '15 23:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru