Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

$%y=\frac{x^2+8}{x+1}$%

1.Функция определена при всех значениях аргумента $%x$% кроме $%x=-1$% .

2.Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения,т. е. на интервалах $%(-\infty ; -1)$% и $%(-1 ; +\infty)$% . Следовательно, $%x=-1$% – точка разрыва 2-го рода и уравнение вертикальной асимптоты графика.

3.Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств $%y(-x)=y(x)$% (тогда $%y(x)$% – четная функция) или $%y(-x)=-y(x)$% (для нечетной функции): $%y(-x)=\frac{(-x)^2+8}{(-x)+1}\neq \begin{cases}y(x)\\-y(x)\end{cases} $% т.е. данная функция не является ни четной, ни нечетной, а ее график не имеет симметрии.

4 не уверена.Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную: $%y'=\frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}$%

$%y'=0$% при $%x_1=-4,x_2=2$% и $%y'$% не существует при $%x=-1$% . Тем самым имеем 3 критические точки:$%x_1=-4,x_2=2, x_3=-1$%. Но точка $%x_3=-1$% не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может. Разобьем числовую ось на 4 интервала: $% (-\infty ; -4) ,(-4;-1), (-1; 2), (2;+\infty )$%. В первом и четвертом интервалах положительна, следовательно, здесь функция возрастает; во втором и третьем интервале — отрицательна и данная функция убывает.

При переходе через точку $%x=-4$% меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум : $%y_{max}=y(-42) = -8$% . Значит, $% (-4; -8)$% – точка максимума.

При переходе через точку $%x=2$% меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум : $%y_{min}=y(2) = 4$% . Значит, $% (2; 4) $%– точка минимума.

5.не уверенеаДля определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную: $%y''=\frac{18}{(x+1)^3}$%

$%у''\neq 0$% при и $%у''$% не существует при $%x=-1$% .

Разобьем числовую ось на два интервала: $%(-\infty ; -1),(1;+\infty ) $%.На первом интервале $%у''$% отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором интервале $%у''>0$% , тем самым график является вогнутым. При переходе через точку $%x=-1$% $%у''$% не меняет свой знак, значит точки перегиба графика функции нет.

6.$%x=-1$% – точка разрыва функции, причем $%\lim_{x \rightarrow -1}\frac{x^2+8}{x+1}$% . Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты $%y=k x+ b$% воспользуемся формулами :

$% k=\lim_{x \rightarrow \infty }\frac{y(x)}{x} $%.

$% k=\lim_{x \rightarrow \infty }\frac{\frac{x^2+8}{x+1}}{x}=1 $%

$% b=\lim_{x \rightarrow \infty }y(x)-kx $%.

$% b=\lim_{x \rightarrow \infty }\frac{x^2+8}{x+1}-1*x=-1 $%

Получаем уравнение наклонной асимптоты: $%y = x-1$%

7.Чертеж. link text

задан 5 Май '15 19:56

2

В основе тут всё верно, только не нужно упоминать точку -1 как критическую. Она не принадлежит области определения функции, то есть таковой в принципе не является.

(5 Май '15 20:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,253
×1,709
×987
×593

задан
5 Май '15 19:56

показан
402 раза

обновлен
5 Май '15 20:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru