Доказать, что группа автоморфизмов циклической группы абелева.
Найти порядок группы автоморфизмов циклической группы порядка $%12$%. Является ли эта группа циклической?

задан 5 Май '15 22:43

10|600 символов нужно символов осталось
1

Бесконечная циклическая группа $%\langle a\rangle$% имеет два образующих: $%a$% и $%a^{-1}$%. Автоморфизм полностью задаётся образом $%a$%, который сам является образующим. Поэтому автоморфизмов два: тождественный, а также переводящий каждый элемент в обратный. Группа автоморфизмов -- циклическая порядка 2.

Пусть теперь дана конечная циклическая группа $%\langle a\rangle_n$% порядка $%n$%. Её образующие -- это такие элементы $%a^k$%, где $%0\le k < n$%, и $%k$% взаимно просто с $%n$%. Количество образующих равно $%\varphi(n)$% (функция Эйлера).

Пусть $%\phi$%, $%\psi$% -- два автоморфизма группы, для которых $%\phi(a)=a^k$% и $%\psi(a)=a^m$%. Тогда $%\psi\phi(a)=\psi(a^k)=(\psi(a))^k=(a^m)^k=a{mk}$% и $%\phi\psi(a)=\phi(a^m)=(\phi(a))^m=(a^k)^m=a^{km}$%. Это значит, что значения автоморфизмов $%\psi\phi$% и $%\phi\psi$% (умножение понимается как композиция) на образующем элементе группы совпадают. Так как группа циклическая, значения совпадают на любой степени $%a$%, то есть на всей группе. Тем самым, $%\psi\phi=\phi\psi$% для любых двух автоморфизмов.

Порядок группы $%{\rm Aut}(\mathbb Z_{12})$% равен $%\varphi(12)=\varphi(4)\varphi(3)=2\cdot2=4$%. Поскольку у циклической группы имеется всего одна подгруппа заданного порядка, то при автоморфизме она отображается на себя. Из того, что $%\mathbb Z_{12}\cong\mathbb Z_4\times\mathbb Z_3$%, ясно, что автоморфизмами подгрупп порядка 4 и 3 полностью задаётся автоморфизм самой группы порядка 12. Отсюда легко получается явное описание группы, и можно заметить, что она не циклична.

Проще всего увидеть это непосредственно, рассмотрев все 4 автоморфизма. Имеется 4 числа от 0 до 11, которые взаимно просты с 12: это 1, 5, 7, 11. Соответственно, $%{\rm Aut}(\mathbb Z_{12})=\{\psi_1,\psi_5,\psi_7,\psi_{11}\}$%, где $%\psi_k(a)=a^k$%. Отсюда видно, что $%\psi_5^2(a)=\psi_5(a^5)=\psi_5(a)^5=a^{25}=a$%, так как $%a^{12}=e$%. Так же точно, $%\psi_7^2(a)=a^{49}=a$% и $%\psi_{11}^2(a)=a^{121}=a$%. Следовательно, $%\psi_5^2=\psi_7^2=\psi_{11}^2=\psi_1$% (последнее -- тождественный автоморфизм). Элементов порядка 4 нет, то есть группа не циклическая.

ссылка

отвечен 5 Май '15 23:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730
×308

задан
5 Май '15 22:43

показан
1779 раз

обновлен
5 Май '15 23:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru