Пусть $%H \triangleleft G$%. Доказать, что факторгруппа $%G/H$% абелева тогда и только тогда, когда $%H$% содержит коммутант $%K$% группы $%G$%.

задан 5 Май '15 23:11

10|600 символов нужно символов осталось
1

Это прямо следует из определения. Если $%aH\cdot bH=bH\cdot aH$%, это равносильно $%abH=baH$%, то есть $%[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab\in H$%.

Таким образом, если $%G/H$% абелева, то все коммутаторы принадлежат $%H$%, а потому и вся порождённая ими подгруппа (это и есть коммутант) содержится в $%H$%. Обратное совсем очевидно: если коммутант содержится, то и все коммутаторы принадлежат.

Можно добавить ещё одно усиление. Здесь по условию $%H$% нормальна, так как рассматривается факторгруппа. Но пусть это не дано для подгруппы $%H$%, содержащей коммутант. Тогда оказывается, что всякая подгруппа с этим свойством нормальна (и далее можно рассматривать фактогруппу, которая будет абелевой). Действительно, если $%g\in G$% и $%h\in H$%, то $%g^{-1}hg=h\cdot h^{-1}g^{-1}hg=h[h,g]\in H$% ввиду того, что и $%h$%, и коммутатор $%[h,g]$% принадлежат $%H$%. Следовательно, $%H$% нормальна в $%G$%.

ссылка

отвечен 5 Май '15 23:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×750
×332

задан
5 Май '15 23:11

показан
336 раз

обновлен
5 Май '15 23:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru