Найти экстремум функции двух переменных: $%z=4x^2-2xy+y^2-2x-4y+1$%

1.Найдем частные производные:

$% \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial (4x^2-2xy+y^2-2x-4y+1)}{\partial x}= 8x-2y-2 $%

$% \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial (4x^2-2xy+y^2-2x-4y+1)}{\partial y}= -2x+2y-4 $%

2.Решим систему уравнений.

$%\begin{cases}8x-2y-2 = 0\\-2x+2y-4 = 0\end{cases} $%

$%\begin{cases}x = \frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\\\frac{3}{9}y+\frac{9}{2} = 0\end{cases} $%

$%\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases} $%

Тем самым имеем одну критическую точку: $%M(1;3)$%

3.Найдем частные производные второго порядка.

$% \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=-2, \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=8, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2$%

4.Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критической точке $%M(x_0;y_0)$%. Вычисляем значения для точки $%M(1;3)$%:

$%A=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}_{(1;3)}=8$%

$%C=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}_{(1;3)}=2$%

$%B=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}_{(1;3)}=-2$%

$%AC - B^2 = 12 > 0$% и $%A > 0$% , то в точке $%M(1;3)$% имеется минимум $%z(1;3) = -6$%

задан 6 Май '15 15:39

изменен 6 Май '15 17:02

@s1mka: у Вас числа для C и B получились одни и те же. Надо исправить. Правда, на ответ это не влияет.

(6 Май '15 16:36) falcao

@falcao с черновика печатала печаталась

(6 Май '15 17:02) s1mka
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,534
×233
×34

задан
6 Май '15 15:39

показан
291 раз

обновлен
6 Май '15 17:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru