Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения:

$%y'=\frac{x+2y}{2x-y}$%

Правая часть уравнения $%f(x,y)=\frac{x+2y}{2x-y}$% обладает свойством $%f(kx,ky)=\frac{kx+2(ky)}{2(kx)-(ky)}=\frac{k(x+2y)}{k(2x-y)}=f(x,y)$%

Поэтому заданное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Разделив на x числитель и знаменатель дроби,получим:$%y'=\frac{x+2y}{2x-y}=\frac{1+2\frac{y}{x}}{2-\frac{y}{x}}$%

Совершим замену $%z=\frac{y}{x}, y=zx, y'=z+x\frac{dz}{dx}$%, исходное уравнение приобретает вид: $%z+x\frac{dz}{dx}=\frac{1+2z}{2-z}$%

$%x\frac{dz}{dx}=\frac{1+2z}{2-z}-z$%

$%x\frac{dz}{dx}=\frac{1+2z-2z+z^2}{2-z}$%

Разделим переменные: $%\frac{dx}{x}=\frac{2-z}{z^2+1}dz$%

После интегрирования обеих частей уравнения получаем: $%\int\frac{2-z}{z^2+1}dz=\int \frac{2dz}{z^2+1}-\int\frac{zdz}{z^2+1}=2arctg(z)-\frac{1}{2}\int\frac{dz}{z^2+1}=2arctg(z)-\frac{1}{2} ln(z^2+1)+ \ln C$%

$%\int \frac{dx}{x}=\ln x $%

Таким образом, $%2arctg(z)-\frac{1}{2} ln(z^2+1)+ \ln C=\ln x$%

$%2arctg(\frac{y}{x})=\ln Cx\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+1}=\ln C\sqrt{y^2+x^2}$%

Итак, общий интеграл исходного уравнения ?

задан 6 Май '15 15:56

изменен 6 Май '15 19:03

При решении аналогичного примера надо "про себя" заметить, что функция однородна, и сразу применить замену вида z=y/x. Предварительно имеет смысл разделить на x числитель и знаменатель дроби. Всё остальное -- по аналогии.

(6 Май '15 16:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

ссылка

отвечен 6 Май '15 16:16

@s1mka, с С можно поступать и так для упрощения ответа. Можно написать просто С без логарифма, тоже будет правильно

(6 Май '15 17:46) epimkin

Перед логарифмом же стоит коэффициент 1/2. Занесите его в подлогарифмическое выражение-это и есть корень

(6 Май '15 18:01) epimkin

@s1mka, так и оставьте: арстангенс и логарифм

(6 Май '15 18:16) epimkin

@epimkin можно ли писать не lnCx, а xlnC?

(6 Май '15 18:23) s1mka

@s1mka, нельзя

(6 Май '15 18:31) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,420
×1,500
×856

задан
6 Май '15 15:56

показан
428 раз

обновлен
6 Май '15 19:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru