Здравствуйте! Дана матрица:

$$A= \begin{bmatrix}-16 & -17 & 87 & -108 \\ 8 & 9 & -42 & 54 \\ -3 & -3 & 16 & -18 \\ -1 & -1 & 6 & -8 \end{bmatrix}$$

Нужно найти собственные значения матрицы.

Скажите, можно ли тут как-то исхитриться, чтобы попроще их вычислить, или таки считать придется этот ужас? И вообще у меня вопрос - можно ли преобразовывать матрицу перед тем, как считать собственные значения? Это же не влияет на собственные значения?

задан 6 Май '15 18:18

изменен 6 Май '15 20:01

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

Здесь, конечно, находить определитель по формуле или каким-то ещё "прямым" способом вряд ли целесообразно. Только преобразовывать надо матрицу $%A-tE$%, а не саму $%A$%. Здесь бросается в глаза, что 108 в два раза больше 54, а 54 в три раза больше 18, что подсказывает серию гауссовых преобразований. Третья строчка "почти втрое" больше четвёртой, и так далее.

(6 Май '15 19:46) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\det(A-tE)=\begin{vmatrix} -16-t & -17 & 87 & -108 \\ 8 & 9-t & -42 & 54 \\ -3 & -3 & 16-t & -18 \\ -1 & -1 & 6 & -8-t \end{vmatrix}=$$

$$=\begin{vmatrix} -t & 1-2t & 3 & 0 \\ -1 & -t & 6-3t & 0 \\ 0 & 0 & -2-t & 6+3t \\ -1 & -1 & 6 & -8-t \end{vmatrix}=(t+2)\begin{vmatrix} -t & 1-2t & 3 & 0 \\ -1 & -t & 6-3t & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 6 & -8-t \end{vmatrix}=$$ $$=(t+2)\begin{vmatrix} -t & 1-t & 3 & 0 \\ -1 & 1-t & 6-3t & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 6 & -8-t \end{vmatrix}=(t+2)(1-t)\begin{vmatrix} -t & 1 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 6-3t & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 6 & -8-t \end{vmatrix}.$$ Далее раскладываем определитель по второму столбцу. Получается $$\Delta=(-1)\begin{vmatrix} -1 & 6-3t & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ -1 & 6 & -8-t \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} -t & 3 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ -1 & 6 & -8-t \end{vmatrix}=$$ $$=-\begin{vmatrix} -1 & 6-3t & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 3t & -8-t \end{vmatrix}+(-t^2-8t-9+18t)=$$ $$=\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 3t & -8-t \end{vmatrix}+(-t^2+10t-9)=-t^2+2t-1=-(t-1)^2.$$

Таким образом, $%\det(A-tE)=(t-1)^3(t+2)$%. Собственные значения $%1$% (кратности три) и $%-2$% (кратности один).

ссылка

отвечен 6 Май '15 20:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×326
×86
×24

задан
6 Май '15 18:18

показан
431 раз

обновлен
6 Май '15 20:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru