теория-групп - Изоморфизм между абелевой группой и прямым произведением групп

Если считается известной теорема о структуре конечных абелевых групп, то этот факт является прямым её следствием. Поэтому имеет смысл изложить решение, на эту теорему не опирающееся. Но здесь придётся использовать какой-то минимум сведений -- например, то, что если порядок конечной абелевой группы делится на $%p$%, то в ней есть элемент порядка $%p$%.

Этот верно для любых конечных групп, но в общем случае доказательство сложнее, и оно использует более слабый факт для абелева случая, который несложно доказывается индукцией по порядку группы. Если нужно, я могу потом напомнить это рассуждение.

Здесь по условию $%m$% и $%n$% взаимно просты, поэтому существуют целые числа $%u$%, $%v$%, для которых $%mu+nv=1$%. Тогда для любого $%g\in G$% справедливо равенство $%g=(g^n)^v\cdot(g^m)^u$%. Рассмотрим два подмножества $%A=\{x\in G\mid x^m=e\}$% и $%B=\{x\in G\mid x^n=e\}$%. Легко видеть, что оба они замкнуты относительно операции умножения (в абелевой группе), а также относительно перехода к обратному элементу. Следовательно, это подгруппы в $%G$%. Ясно также, что $%g^n\in A$% и $%g^m\in B$% для любого $%g\in G$%. Поэтому из сказанного выше следует, что всякий элемент группы представим в виде $%g=ab$%, где $%a\in A$%, $%b\in B$%. Можно вместо этого сказать, что $%G=AB$%.

Пересечение подгрупп тривиально, так как из $%g^m=g^n=e$% следует $%g=e$% ввиду взаимной простоты показателей. Это значит, что представление любого элемента группы в виде $%ab$% единственно. Подгруппы поэлементно коммутируют, откуда следует, что $%G\cong A\times B$%.

Теперь достаточно доказать, что $%|A|=m$% и $%|B|=n$%. На данный момент мы знаем, что $%mn=|G|=|A|\cdot|B|$%. Разложим каждое из чисел $%m$%, $%n$% в произведение простых. Заметим, что числа взаимно простые, поэтому у них нет общих простых делителей. Предположим, что $%|A|\ne m$%. Тогда либо $%|A| > m$%, либо $%|A| < m$%, что влечёт $%|B| > n$%. Оба случая здесь симметричны, поэтому ограничимся рассмотрением первого из них.

Если $%|A| > m$%, то в разложении $%|A|$% на простые множители должен иметься некоторый простой делитель $%p$%, имеющийся в разложении числа $%n$%. Таким образом, порядок группы $%A$% делится на $%p$%. Рассмотрим элемент $%a\in A$% порядка $%p$%. По определению подгруппы $%A$%, имеет место равенство $%a^m=e$%. Следовательно, $%m$% делится на порядок элемента $%a$%, то есть на $%p$%. Но выше было отмечено, что $%n$% делится на $%p$%, что противоречит взаимной простоте.