Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

$%y' \cos ^2 x +y=y^2 tg x, y(0)=-1$%

$%y' \cos ^2 x +y=y^2 tg x$%

Разделим все члены уравнения на $%y^2$%, получим $%y'y^{-2} \cos ^2 x +y^{-1}= tg x$%

Делаем замену $%t=y^{-1}, t'=-y^{-2}y', y'y^{-2}=-t'$% получим $%-t\cos ^2 x +t= tg x$%

Умножим все члены уравнения на $%(-1)$%, получим $% t\cos ^2 x -t= -tg x$%

Заменим $%t=UV, t'=U'V+UV'$%, тогда $% (U'V+UV')\cos ^2 x -UV= -tg x$%

$% U'V\cos ^2 x+UV' \cos ^2 x -UV= -tg x$%

$% U'V\cos ^2 x+U(V' \cos ^2 x -V)= -tg x$%

$%V' \cos ^2 x =V$%

$%V' =\frac{V}{\cos ^2 x}$%

$%\frac{dv}{dx} =\frac{V}{\cos ^2 x}$%

Разделим переменные: $%\frac{dv}{V} =\frac{dx}{\cos ^2 x}$%

После интегрирования обеих частей уравнения получаем: $%\ln V=tg x$%

$%V=e^{tg x}$%

$%U'cos^2x \times e^{tg x}=-tgx$%

$%U' =\frac{-tg x}{cos^2x \times e^{tg x}}$%

$%U =\int \frac{-tg x}{cos^2x \times e^{tg x}}dx=e^{-tg x}(tg x +1)+C$%

$%t=y^{-1}=UV=(e^{-tg x}(tg x +1)+C)*e^{tg x}=(tg x +1)+Ce^{tg x}$%

Получим общее решение:$%y=\frac{1}{(tg x +1)+Ce^{tg x}}$%

Подставим в него начальные условия $%y(0)=-1$% :

$%-1=\frac{1}{(tg (0) +1)+Ce^{tg (0)}}$%

$%-1=\frac{1}{1+C}$%

$%C=-2$%

Данное значение константы подставим в общее решение: $%y=\frac{1}{(tg x +1)-2e^{tg x}}$%– искомое частное решение.

Проверка:$%y'=(\frac{1}{(tg x +1)-2e^{tg x}})'=\frac{\frac{1-2e^{tg x}}{cos^2x}}{((tg x +1)-2e^{tg x})^2}$%

$%\frac{\frac{1-2e^{tg x}}{cos^2x}}{((tg x +1)-2e^{tg x})^2} cos^2x+\frac{1}{(tg x +1)-2e^{tg x}}=\frac{tg x}{((tg x +1)-2e^{tg x})^2}$%

$%\frac{1-2e^{tg x}+(tg x +1)+2e^{tg x}}{((tg x +1)-2e^{tg x})^2}=\frac{tg x}{((tg x +1)-2e^{tg x})^2}$%

$%\frac{tg x}{((tg x +1)-2e^{tg x})^2}=\frac{tg x}{((tg x +1)-2e^{tg x})^2}$%

задан 7 Май '15 11:31

изменен 10 Май '15 15:53

Это уравнение Бернулли.

Разделения переменных здесь не происходит, поскольку "тангенс икс" входит в левую часть, где должны быть только "игреки".

(7 Май '15 13:18) falcao

@s1mka: Вы сделали замену, и получилось линейное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами. Дальше его нужно решать обычными способами. Например, представлять $%z$% в виде $%uv$%, и так далее (этот способ раньше уже был). А можно попробовать применить второй способ решения уравнения Бернулли, который дан по ссылке.

(7 Май '15 14:20) falcao

@s1mka: если логарифм чего-то равен чему-то, то есть $%\ln v=w$%, то разве отсюда можно сделать вывод, что $%v=1/w$%? Если бы так было, понятие логарифма было бы не нужно. Все бы так и писали, что одна величина обратна другой.

Перечитайте, пожалуйста, определение натурального логарифма в учебнике.

(7 Май '15 16:13) falcao

@s1mka: если для Вас этот факт всё ещё под вопросом, то надо перечитать определение натурального логарифма ещё раз. И так до тех пор, пока не появится уверенность :)

(7 Май '15 16:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я вынужден писать здесь, так как в комментариях не осталось места. Поскольку это не ответ, а мелкое замечание, текст я впоследствии удалю.

У Вас ошибка пот нахождении значения $%C$%. Там надо подставить $%x=0$%, $%y=-1$%, а сделано наоборот. Поэтому получилось невозможное условие, из которого $%C$% найти нельзя.

Когда получите ответ, проверьте его самостоятельное через дифференцирование. Тогда будете знать, правильно или нет.

ссылка

отвечен 7 Май '15 18:08

@s1mka: чему равно значение выражения $%\frac1{C+1}$% при $%C=2$%?

(7 Май '15 18:52) falcao

@falcao я знак недопечатала там -2

(7 Май '15 19:04) s1mka

@s1mka: теперь правильно, но я очень рекомендую проверить ответ, подставляя его в уравнение. Это было бы весьма полезно. Должно сойтись.

(7 Май '15 19:12) falcao

@falcao спасибо вам я сделала проверку как вы и советовали

(7 Май '15 19:43) s1mka
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,409
×1,496
×855

задан
7 Май '15 11:31

показан
498 раз

обновлен
10 Май '15 15:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru