Подскажите, пожалуйста, как вычислить такой интеграл: $$\int\limits_0^{+∞} 2x^4 e^{(-x^2 )} dx$$

$$\int\limits_0^{+∞} 2x^5 e^{(-x^2 )} dx$$

задан 7 Май '15 11:56

изменен 7 Май '15 12:03

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Во втором случае можно в явном виде найти первообразную функции. Полагая $%y=x^2$%, имеем $%dy=2x\,dx$%, то есть интеграл приобретает вид $%\int\limits_0^{+\infty}y^2e^{-y}\,dy$%. Первообразная здесь равна $%-e^{-y}(y^2+2y+2)$%, и она может быть найдена при помощи интегрирования по частям. Для несобственного интеграла можно заметить, что имеет место формула $%\int\limits_0^{+\infty}y^ne^{-y}\,dy=n!$% при $%n\ge0$%, которая легко доказывается методом математической индукции при помощи интегрирования по частям. Поэтому во втором примере ответом будет число $%2$%.

Теперь рассмотрим первый из примеров. Заметим, что $%d(e^{-x^2})=-2xe^{-x^2}dx$%. Поэтому мы имеем дело с интегралом $%-\int x^3d(e^{-x^2})=-x^3e^{-x^2}+\int e^{-x^2}d(x^3)$% после интегрирования по частям. Для несобственного интеграла, первое слагаемое принимает значение $%0$% как при $%x=+\infty$%, так и при $%x=0$%. Отсюда $%\int\limits_0^{+\infty}2x^4e^{-x^2}\,dx=\int\limits_0^{+\infty}3x^2e^{-x^2}\,dx$%. Далее снова интегрируем по частям, получая $%-\frac32\int\limits_0^{+\infty}x\,d(e^{-x^2})=\frac32\int\limits_0^{\infty}e^{-x^2}\,dx$%. Здесь уже первообразная не выражается в элементарных функциях, но можно сослаться на известный факт: $%\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}$%. Следовательно, в нашем случае получается ответ $%\frac34\sqrt{\pi}$%.

ссылка

отвечен 7 Май '15 15:35

А как проинтегрировать по частям: "после интегрирования по частям" такой интеграл как вы написали:

$$-\int\limits_0^{+∞} x^3 d(e^{(-x^2 )} )$$

(8 Май '15 15:25) pavel87

Как это все подробно расписать не понимаю, особенно с интегрированием по частям.

(8 Май '15 15:35) pavel87

С интегрированием по частям разобрался в первом случае, а вот когда вы берете повторно не понял какие $%u$%, $%v$%, $%du$%, $%dv$% брать.

(8 Май '15 15:53) pavel87

@pavel87: здесь тот же приём надо применить. У нас была 4-я степень, а после одного шага интегрирования по частям стала 2-я. После ещё одного шага должна быть нулевая степень, и тогда получится известный интеграл. А для того, чтобы применить тот же приём вторично, надо $%x^2e^{-x^2}$% записать как $%-\frac12xd(e^{-x^2})$%. То есть $%u=x$%, $%v=e^{-x^2}$% (без учёта коэффициента).

(8 Май '15 18:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,042

задан
7 Май '15 11:56

показан
478 раз

обновлен
8 Май '15 18:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru