Пусть $%a$%, $%b$%, $%c$% такие действительные числа, что $%b^2<3ac$%. Доказать, что многочлен $%x^3+ax^2+bx+c$% имеет только один действительный корень. Какой знак у этого корня?

задан 7 Май '15 14:11

изменен 7 Май '15 14:36

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

По условию, $%c\ne0$%, поэтому $%x=0$% не является корнем. Рассмотрим замену переменной вида $%t=\frac1x$%. Получится уравнение $%g(t)=ct^3+bt^2+at+1=0$%, в котором коэффициенты идут в обратном порядке. Ясно, что корней у этого уравнения столько же, и знак числа при подстановке не меняется.

Рассмотрим производную многочлена. Она равна $%g'(t)=3ct^2+2bt+a$%. Приведённый дискриминант равен $%D/4=b^2-3ac < 0$%. Это значит, что график квадратного трёхчлена не пересекает ось абсцисс. При $%c > 0$% значения всюду положительны, то есть $%g'(t) > 0$% для всех $%t$%, то есть $%g(t)$% всюду возрастает. При $%c < 0$% всё наоборот: $%g(t)$% всюду убывает. В обоих случаях функция $%g(t)$% монотонна, поэтому уравнение $%g(t)=0$% имеет не более одного корня.

Заметим, что $%ac > 0$%, то есть числа $%a$%, $%c$% имеют один и тот же знак. Допустим, что $%a > 0$%, $%c > 0$%. Тогда $%g(t) < 0$% на минус бесконечности, и при этом $%g(0)=1 > 0$%. Это значит, что имеется отрицательный корень. Теперь пусть $%a < 0$%, $%c < 0$%. Здесь $%g(t) < 0$% на плюс бесконечности, и в этом случае имеется положительный корень.

Таким образом, знак корня противоположен знаку коэффициента $%c$%.

ссылка

отвечен 7 Май '15 14:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,708
×322

задан
7 Май '15 14:11

показан
493 раза

обновлен
7 Май '15 15:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru