геометрия - Треугольник с целочисленными сторонами

Некоторые мысли по поводу.
Можно показать, что части, на которые делит высота противоположную сторону, выражаются рационально через стороны треугольника. Значит, в условиях задачи они являются рациональными числами. Умножая все длины на подходящее число, можно сделать их целыми.
Имеем $%h = y + x$% или $%h = y - x$%. Если два из чисел $%x, y, h$% имеют общий множитель, то и третье делится на него. Поэтому не ограничивая общности можно считать, что числа $%x, y, h$% попарно взаимно просты.
Тогда они являются элементами пифагоровых троек, для которых известно, в частности, что одно из чисел четное, а другое - нечетное.
Если h - нечетное, то x и y - четные, что приводит к четности h. Противоречие. Значит, $%x, y$% - нечетные, а h - четное.
Общий вид пифагоровых троек известен. Получаем, что $%x = mn, y = kl, 2h = m^2-n^2 = k^2- l^2$% для некоторых нечетных натуральных $%k, l, m, n$%, причем k и l взаимнопросты, как и m и n.

Дополнение от пятницы, 13 июля. Прямым счетом задача сводится к такой: существует ли такое рациональное t, что число $%t+1/t-1$% есть квадрат рационального числа? Если существует, с его помощью можно построить решение (тупоугольный треугольник, как на правом рисунке). Если не существует - искомых треугольников тоже нет.

Дополнение 2 - исправление Доп. 1. В вычислениях был перепутан знак. Имеем $%h^2 = a^2 - x^2$%, a - сторона треугольника. Это диофантово уравнение имеет стандартное решение: $%a - x = p, a + x = h^2/p$%, откуда $%x = ({h^2\over p} - p)/2$%. Обычно требуют, чтобы p было делителем $%h^2$%, но можно на этом не заморачиваться, достаточно получить рациональное решение. Аналогично получаем, что $%y = ({h^2\over q} - q)/2$%. Теперь можно подставить вычисленные x и y в равенство $%h = y + \varepsilon x$%, где $%\varepsilon =\pm 1$% и $%\varepsilon^2 = 1$%.
После упрощений оно принимает вид $%h^2 - {2pq\over p + \varepsilon q}h - \varepsilon pq = 0$%. Дискриминант этого уравнения должен быть квадратом рационального числа. Его четверть равна $%\frac{pq(\varepsilon p^2 + \varepsilon q^2 + 3pq)}{(p+\varepsilon q)^2}$%. Знаменатель и так квадрат, разве что при $%\varepsilon =-1$% должно быть $%p \ne q$%. Значит, квадратом должно быть и число $%pq(\varepsilon p^2 + \varepsilon q^2 + 3pq) = p^2q^2(\varepsilon({p\over q}+{q\over p})+3)$%. Пусть $%{p\over q} = t$%, тогда квадратом должно быть число $%\varepsilon(t+{1\over t})+3$%.

Пусть, $%a$%, $%b$%, $%h$% - стороны треугольника, $%h$%, кроме того, - высота. Приравняв площадь по обычной формуле и по формуле Герона, после возведения в квадрат получаем уравнение $$4h^4=(a+b+h)(a+b-h)(h+a-b)(h+b-a)$$ или $$4h^4=(n+h)(n-h)(h+m)(h-m)$$, где $%\;\;\;n=a+b$%, $%\;\;\;\;m=a-b$%
После раскрытия скобок получается биквадратное уравнение относительно $%h$% $$5h^4-(n^2+m^2)h^2+n^2m^2=0,$$ имеющее корни $%h_1$%, $%h_2$%, $%-h_1$%, $%-h_2$%. Отрицательную пару можно не рассматривать, будем говорить о двух корнях $%h_1$%, $%h_2$%.

По теореме Виета $$h_1^2+h_2^2=\frac{(n^2+m^2)}{5}$$ $$h_1^2h_2^2=\frac{n^2m^2}{5},$$ Если один из корней (например, $%h_1$%) является целым числом, то и второй корень $%h_2$% тоже будет целым, т.к. $%5h_2^2$% должно быть целым (см. док-во в дополнении). При этом $%\;\;n$%, и $%\;\;m$% должны быть кратны 5 (см. там же): $$n=5n_1$$ $$m=5m_1$$ Уравнение перепишется как $$h^4-5(n_1^2+m_1^2)h^2+125n_1^2m_1^2=0.$$
По той же теореме Виета $$n_1^2+m_1^2=\frac{(h_1^2+h_2^2)}{5}$$ $$n_1^2m_1^2=\frac{h_1^2h_2^2}{125},$$ откуда следует, что и $%\;\;h_1$%, и $%\;\;h_2$% кратны 5, т.е. $%\;h$% кратно 5: $$h=5h_s$$ Относительно $%h_s$% получается уравнение $$5h_s^4-(n_1^2+m_1^2)h_s^2+n_1^2m_1^2=0,$$ совпадающее с исходным с точностью до обозначений.

Дословно повторяя предыдущие рассуждения, получаем, что $%h_s=5h_{ss}$%, т.е. $%h=25h_{ss}$% и для $%h_{ss}$% справедливо такое же уравнение.

Повторяя рассуждения $%k$% раз, где $%k$% - произвольно заданное число, получаем, что $%h$% должно быть кратно любой произвольно заданной $%k$%-й степени числа 5, что невозможно.

Таким образом, указанного в условии треугольника не существует.

Дополнение (ответ на комментарий).

1. Докажем, что если $%h_1$% целое, то $%h_2$% - тоже целое. $%h_1$% может быть целым только в том случае, если из дискриминанта извлекается корень, т.е. $%\sqrt{D}$% - целое. Но в этом случае, в соответствии с формулой корней квадратного уравнения, $%h_2$% будет по крайней мере рациональным, т.е. $%h_2=\frac{p}{q}$%, где $%p$% и $%q$% - взаимно простые числа. Докажем, что $%q=1$%. Предположим, что это не так, $%q>1$%. Обозначим $%A=n^2+m^2-5h_1^2$%. В соответствии с первой формулой Виета $%5h_2^2=A$%, т.е. $%5\frac{p^2}{q^2}=A$%. Если $%q \neq 1$%, то $%A$% не кратно 5, значит $%q$% кратно 5, т.е. $%q=5q_1$%, откуда $%p^2=5Aq_1^2$%. Из последнего равенства следует, что $%p$% кратно 5, т.е. $%p$% и $%q$% имеют общий множитель 5, что противоречит предположению об их взаимной простоте.

2. Докажем, что $%m$% и $%n$% кратны 5. Из второй формулы Виета следует, что хотя бы одно из этих чисел кратно 5. В силу симметрии уравнений можно выбрать любое из них. Пусть это будет m, т.е. $%m=5m_1$%. Подставив последнее выражение в первую формулу Виета, получим, что $%n^2/5=h_1^2+h_2^2-5m_1^2$% - целое, т.е. $%n$% тоже кратно 5, ч.т.д.

Попробуем так. Пусть имеется целочисленное равенство $%ab = ef$%. На основе этого равенства составим целочисленные пифагоровы числа (см. левый рис. @DocentI): $% x = a^2 - b^2; y = e^2 - f^2; h = 2ab = 2ef$%; боковые стороны треугольника соответственно: $%t = a^2 + b^2; v = e^2 + f^2$%. Если $%(x+y) < > h$%,то всегда найдётся рациональное число $%k = p/q$% ($%p, q$% - целые числа), такое, что будет выполняться равенство: $%pq(a^2 - b^2 + e^2 - f^2) = 2p^2ab$%. Теперь приведём в соответствие пифагоровы числа по типу: $%xp^2 = p^2(a^2 - b^2) = A^2 - B^2; yp^2 = p^2 (e^2 - f^2) = E^2 -F^2$% и т. д. $%A,B,E,F$% - элементы новых пифагоровых чисел. Но равенство $%x + y = h$% снова не выполняется. Получается ответ отрицательный: такого треугольника не существует.

Это известная задача. Эквивалентная формулировка этой задачи следующая: "Задан единичный квадрат. Рассматриваем все точки на прямой, которая содержит одну из сторон квадрата. Найдется ли среди этих точек такая точка, расстояния от которой до всех четырех вершин квадрата являются рациональными числами?". Ответ известен и отрицателен. А вообще, задача интересна, ибо до сих пор неизвестно существует ли точка с указанными свойствами хотя бы где-то в плоскости квадрата. На прямой, содержащей сторону квадрата, такой точки точно нет. А есть ли в его плоскости под вопросом.

https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/9501-the-rational-distance-problem/D6381E878043C30056173AF8E3DC7540

Таких чисел не существует. Пусть высота Н разбивает сторону на 2 отрезка $%Н_1$% и $%Н_2.$% Тогда $%H^2 + H_1^2 = a^2 (1); H^2 + H_2^2 = b^2 (2); H = H_1 + H_2 (3) $%. Подставляем $%(3)$% в $%(1)$% и $%(2)$% Имеем : $$(1) : 2H_1^2 + 2H_1H_2+ H_2^2 = a^2 ;$$ $$(2) : H_1^2 + 2H_1H_2 + 2H_2^2 = b^2 ;$$ Вычитаем из $%(1) - (2) : H_1^2- H_2^2 = a^2-b^2\Rightarrow$% $%(H_1-H_2)(H_1+H_2)= (a-b)(a+b).$%

Но $% a+b> H_1+ H_2$% и $% a-b > H_1-H_2.$% Следовательно , таких чисел не существует. $% a$% и $% b$% - две стороны треугольника.

Заинтересовала задачка очень... Вот что пришло в голову...

Пусть высота, проведенная к основанию, и основание = h. Пусть высота поделила основание на отрезок а и h-а соответственно, и трегольник на 2 прямоугольных. Выражаем по т. Пифагора боковые стороны треугольника, потом по той же теореме выражаем высоту из 2-ух прям. треугольников, приравниваем. Из уравнения получаем: h=2а (треугольник - равнобедренный). тогда боковая сторона в квадрате : $$ а^{2} + (2а)^{2} = 5а^{2} $$ т.е. сама сторона имеет вид: $$ \sqrt[2]{5} а $$, что не является целым числом.

Если обозначить основание и высоту через $%a$%, а другие стороны через $% b$% и $% c$%,то легко получается уравнвние $%5а^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2=0.$% Надо доказать что это уравнение в целых числах не имеет решений.

Как вариант.

Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту. В нашем случае площадь будет равна половине квадрата высоты.

С другой стороны юзаем формулу Герона и выражаем площадь через две стороны и высоту (длина третьей стороны).

Обе площади равны. Из равенства находим выражение для первой стороны и для второй стороны. Анализируем. Авось, чего-нибудь умное получится. Заниматься этим мне просто лень.