Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, у которого высота,проведенная к основанию, равна этому основанию? задан 11 Июн '12 20:19 Anatoliy
показано 5 из 11
показать еще 6
|
Доказательство несуществования искомого треугольникаУсловие существования треугольника определяется решением следующей системы уравнений в натуральных числах: $$ (1) \;\;\;\;\; a^2 =c^2+z_1^2 $$ $$ (2) \;\;\;\;\; b^2 =c^2+z_2^2 $$ $$ (3) \;\;\;\;\;z_1 \pm z_2=с $$ В доказательстве будет использоваться следующее Утверждение 1. Система уравнений $$ (4) \;\;\;\;\;4q^2+w^2=d^2, \;\; q^2-w^2=e^2$$ неразрешима в натуральных числах. Далее натуральность рассматриваемых чисел подразумевается без специальных оговорок. Доказательство утверждения 1
Доказательство неразрешимости системы уравнений (1)-(3). Будем считать, что каждое из уравнений (1)-(3) несократимо, поскольку, если сократимо хотя бы одно из них, то сократимы с этим же коэффициентом все уравнения (1)-(3). При этом их можно сократить и получить аналогичные уравнения с меньшими значениями неизвестных чисел. Предположим, что уравнения (1)-(3) разрешимы. Тогда, подставляя (3) в (1) и (2), имеем $$ (5) \;\;\;\;\; a^2 –z_2^2=2z_1(z_1\pm z_2) $$ $$ (6) \;\;\;\;\; b^2 –z_1^2=2z_2(z_1\pm z_2) $$ Поскольку левые и правые части (5), (6) делятся на 8, и либо $%z_1$% , либо $%z_2$% нечетно, то число $%z_1\pm z_2=c$%. четно. С учетом четности числа c запишем условия выполнимости уравнений (1), (2) через параметры пифагоровых троек: $$c=2m_1n_1,\;\; z_1=m_1^2-n_1^2$$ $$c=2m_2n_2,\;\; z_2=m_2^2-n_2^2$$ При этом в соответствии с (3) $$ (7) \;\;\;\;\; (m_1^2-n_1^2) \pm (m_2^2-n_2^2) =2m_1n_1. $$ Общее представление двух пар чисел $% (m_1,n_1) $% и $% (m_2,n_2) $%, произведение каждой из которых равно $%c/2, $% имеет вид $$m_1=xy, \;\; n_1=uv;\;\;\;\; m_2=xu, \;\; n_2=yv. $$ Подставляя эти значения в (7), получим $$ ((xy)^2- (uv)^2) \pm ((xu)^2-(yv)^2)=2xyuv, $$ Из последних соотношений при разложении их левых частей на множители получим два уравнения: $$ (8) \;\;\;\;\; (x^2-v^2)(y^2+u^2)=2xyuv. $$ $$ (9) \;\;\;\;\; (x^2+v^2)(y^2-u^2)=2xyuv. $$ Как установлено, для существования треугольника с требуемыми свойствами необходимо и достаточно существование решения данных уравнений в натуральных числах $% x, y, u, v. $% Поскольку эти уравнения эквивалентны с точностью до обозначения переменных, то вопрос об их разрешимости рассмотрим лишь для уравнения (8). При этом можно считать, что числа $%x, v $% и $% y, u $% в (8) попарно несократимы, иначе их можно сократить и получить такое же уравнение в несократимом виде. При этом условии, как легко видеть, сомножители в левой части уравнения (8) также несократимы. С учетом рассмотренного имеем следующие свойства чисел в уравнении (8): а) все делители числа $% (x^2-v^2) $% являются делителями числа $% 2yu$% все делители числа $% yu $% являются делителями числа $% (x^2-v^2); $% б) все делители числа $% (y^2+u^2) $% являются делителями числа $% 2xv, $% все делители числа $% xv $% являются делителями числа $% (y^2+u^2); $% в) только одно из чисел $% (x^2-v^2), (y^2+u^2) $% является четным. Эти утверждения позволяют представить уравнение (8) в виде 2-х вариантов системы двух уравнений: $$ (10) \;\;\;\;\; (x^2-v^2)= 2yu,\;\; (y^2+u^2)=xv, $$ $$ (11) \;\;\;\;\; (x^2-v^2)= yu,\;\; (y^2+u^2)=2xv. $$ Используя алгебраическое тождество и уравнения (10), получим систему уравнений $$ 4(xv)^2+(x^2-v^2)^2=(x^2+v^2)^2, (xv)^2-(x^2-v^2)^2=(y^2-u^2)^2, $$ которая, как следует из утверждения 1, неразрешима в натуральных числах. Следовательно, и система (10) неразрешима в натуральных числах. Аналогично из (11) получим систему уравнений $$ 4(xv)^2+(x^2-v^2)^2=(x^2+u^2)^2, (xv)^2-(x^2-v^2)^2=[(y^2-u^2)/2]^2, $$ в которой в силу нечетности $% y, u $% правая часть последнего уравнения является квадратом натурального числа. В силу утверждения 1 данная система уравнений неразрешима в натуральных числах. Следовательно, и система (11) неразрешима в натуральных числах. Из неразрешимости систем уравнений (10) и (11) следует неразрешимость уравнений (1)-(3) и несуществование искомого треугольника. # Yog-Urt отвечен 22 Дек '12 21:15 Urt В приведенном мной доказательстве утверждения 1 есть некорректность (заметил Anton25 на форуме MathForum). Доказательство этого утверждения проходит в громоздком варианте. Постараюсь опитмизировать, апробировать и разместить в обозримое время. Размещено в скорректированном виде 26.12.12
(23 Дек '12 1:28)
Urt
|
Некоторые мысли по поводу. Дополнение от пятницы, 13 июля. Прямым счетом задача сводится к такой: существует ли такое рациональное t, что число $%t+1/t-1$% есть квадрат рационального числа? Если существует, с его помощью можно построить решение (тупоугольный треугольник, как на правом рисунке). Если не существует - искомых треугольников тоже нет. Дополнение 2 - исправление Доп. 1. В вычислениях был перепутан знак. Имеем $%h^2 = a^2 - x^2$%, a - сторона треугольника. Это диофантово уравнение имеет стандартное решение: $%a - x = p, a + x = h^2/p$%, откуда $%x = ({h^2\over p} - p)/2$%. Обычно требуют, чтобы p было делителем $%h^2$%, но можно на этом не заморачиваться, достаточно получить рациональное решение.
Аналогично получаем, что $%y = ({h^2\over q} - q)/2$%. Теперь можно подставить вычисленные x и y в равенство $%h = y + \varepsilon x$%, где $%\varepsilon =\pm 1$% и $%\varepsilon^2 = 1$%. отвечен 13 Июн '12 22:45 DocentI Мысли хорошие.
(14 Июн '12 10:58)
Anatoliy
Пока не знаю даже, какой ответ: есть или нет. Тупой перебор пифагоровых троек на Excel не дал результата. Так что подозрение, что ответ отрицательный...
(16 Июн '12 0:41)
DocentI
|
Пусть, $%a$%, $%b$%, $%h$% - стороны треугольника, $%h$%, кроме того, - высота. Приравняв площадь по обычной формуле и по формуле Герона, после возведения в квадрат получаем уравнение
$$4h^4=(a+b+h)(a+b-h)(h+a-b)(h+b-a)$$
или
$$4h^4=(n+h)(n-h)(h+m)(h-m)$$,
где $%\;\;\;n=a+b$%, $%\;\;\;\;m=a-b$% По теореме Виета
$$h_1^2+h_2^2=\frac{(n^2+m^2)}{5}$$
$$h_1^2h_2^2=\frac{n^2m^2}{5},$$
Если один из корней (например, $%h_1$%) является целым числом, то и второй корень $%h_2$% тоже будет целым, т.к. $%5h_2^2$% должно быть целым (см. док-во в дополнении).
При этом $%\;\;n$%, и $%\;\;m$% должны быть кратны 5 (см. там же):
$$n=5n_1$$
$$m=5m_1$$
Уравнение перепишется как
$$h^4-5(n_1^2+m_1^2)h^2+125n_1^2m_1^2=0.$$ Дословно повторяя предыдущие рассуждения, получаем, что $%h_s=5h_{ss}$%, т.е. $%h=25h_{ss}$% и для $%h_{ss}$% справедливо такое же уравнение. Повторяя рассуждения $%k$% раз, где $%k$% - произвольно заданное число, получаем, что $%h$% должно быть кратно любой произвольно заданной $%k$%-й степени числа 5, что невозможно. Таким образом, указанного в условии треугольника не существует. Дополнение (ответ на комментарий).
отвечен 3 Сен '12 14:34 Андрей Юрьевич "Если один из корней (например, $%h_1$%) является целым числом, то и второй корень $%h_2$% тоже будет целым, т.к. $%5h_2^2$% должно быть целым. При этом $%\;\;n$%, и $%\;\;m$% должны быть кратны 5: $$n=5n_1$$ $$m=5m_1$$". Вот на эту часть стоит обратить внимание. Возможно Вы достигли цели.
(3 Сен '12 18:07)
Anatoliy
А если уравнение $$5h^4-(n^2+m^2)h^2+n^2m^2=0,$$ имеет кратный корень?
(3 Сен '12 21:42)
Anatoliy
А что это меняет? Все остается в силе. Только доказывать целочисленность второго корня не надо.
(3 Сен '12 22:21)
Андрей Юрьевич
Ну, кратного корня уравнение не может иметь. Просмотрите, Андрей Юрьевич, еще раз свое решение, чтобы не упустить какого-то нюанса. Желательно, чтобы Ваше решение оценили и другие участники форума. Я тоже это сделаю. И с удовольствием, при благоприятном исходе, отмечу Ваше решение как правильное. Успехов Вам.
(4 Сен '12 10:27)
Anatoliy
Честно говоря, не понял, почему возник вопрос о кратном корне. Я не анализировал возможность его появления, но в приведенном решении кратный корень (даже если он возможен) проявится только в виде дополнительного условия $%h_1=h_2$%. И все. На ходе решения это никак не скажется, только отпадет необходимость доказывать, что $%h_2$% - целое.
(4 Сен '12 12:26)
Андрей Юрьевич
Андрей Юрьевич, поздравляю Вас с успешным решением этой задачи! Успехов Вам в дальнейшей творческой деятельности.
(4 Сен '12 13:35)
Anatoliy
Спасибо, меня несколько задело то, что я не могу решить школьную задачу, и я потратил на нее некоторое время. Но, пожалуй, для школьников она все-таки сложновата. Что, кто-нибудь из них решил? И есть ли другие решения?
(4 Сен '12 15:26)
Андрей Юрьевич
Доказательство Андрея Юрьевича, как показал Anton25 (форум мехмата МГУ-[link text])1 ошибочно.
(27 Ноя '12 2:34)
Urt
А у меня вызывает большие сомнения приведенное там опровержение моего доказательства. В приведенном контрпримере оба корня целые. Во всяком случае, пока я у себя ошибки не вижу.
(27 Ноя '12 12:12)
Андрей Юрьевич
Urt, если есть ошибка в доказательстве Андрея Юрьевича, то укажите эту ошибку.
(27 Ноя '12 12:40)
Anatoliy
"h1 может быть целым только в том случае, если из дискриминанта извлекается корень.... Но в этом случае, в соответствии с формулой корней квадратного уравнения, h2 будет по крайней мере рациональным" - не h2, а квадрат h2. У Antona25 - контрпример аналогичное уравнение с коэффициентом не 5, а 7.
(27 Ноя '12 17:15)
Urt
Ждем комментария от Андрея Юрьевича.
(27 Ноя '12 18:20)
Anatoliy
Да, к сожалению, есть ошибка. Для биквадратного уравнения (в отличие от квадратного) одна пара корней может быть целой, а вторая - иррациональной. Мое доказательство применимо только для случая двух пар целых корней. Случай "целая пара + иррациональная пара", по-видимому, нужно рассмотреть отдельно. Постараюсь это сделать, но в ближайшее время не обещаю - сейчас я очень занят.
(28 Ноя '12 17:01)
Андрей Юрьевич
Спасибо Anton25 за обнаруженную ошибку в доказательстве Андрея Юрьевича. Спасибо Андрею Юрьевичу за настойчивость в поиске решения. У меня было изначально сомнение, но глубоко не вник в решение и принял ответ как правильный. Я думаю, что все нормально. Поиск решения продолжается!
(28 Ноя '12 20:17)
Anatoliy
показано 5 из 14
показать еще 9
|
Попробуем так. Пусть имеется целочисленное равенство $%ab = ef$%. На основе этого равенства составим целочисленные пифагоровы числа (см. левый рис. @DocentI): $% x = a^2 - b^2; y = e^2 - f^2; h = 2ab = 2ef$%; боковые стороны треугольника соответственно: $%t = a^2 + b^2; v = e^2 + f^2$%. Если $%(x+y) < > h$%,то всегда найдётся рациональное число $%k = p/q$% ($%p, q$% - целые числа), такое, что будет выполняться равенство: $%pq(a^2 - b^2 + e^2 - f^2) = 2p^2ab$%. Теперь приведём в соответствие пифагоровы числа по типу: $%xp^2 = p^2(a^2 - b^2) = A^2 - B^2; yp^2 = p^2 (e^2 - f^2) = E^2 -F^2$% и т. д. $%A,B,E,F$% - элементы новых пифагоровых чисел. Но равенство $%x + y = h$% снова не выполняется. Получается ответ отрицательный: такого треугольника не существует. отвечен 16 Июн '12 8:23 nikolaykruzh... Ваше решение заслуживает внимания. Спасибо.
(16 Июн '12 10:41)
Anatoliy
Попробовали так - не получилось: решение оказалось ошибочным. "Будем искать", - как говорил Юрий Никулин в "Бриллиантовой руке"
(17 Июн '12 7:39)
nikolaykruzh...
@Anatoliy, у меня было два противоположных решения: 1) такой треугольник существует, 2) такого треугольника не существует. Какое решение заслуживает внимания: первое или последнее? Спасибо.
(18 Июн '12 22:24)
nikolaykruzh...
Жалко. Лаплас остался бы недоволен таким непрозрачным ответом.
(20 Июн '12 0:18)
nikolaykruzh...
|
Это известная задача. Эквивалентная формулировка этой задачи следующая: "Задан единичный квадрат. Рассматриваем все точки на прямой, которая содержит одну из сторон квадрата. Найдется ли среди этих точек такая точка, расстояния от которой до всех четырех вершин квадрата являются рациональными числами?". Ответ известен и отрицателен. А вообще, задача интересна, ибо до сих пор неизвестно существует ли точка с указанными свойствами хотя бы где-то в плоскости квадрата. На прямой, содержащей сторону квадрата, такой точки точно нет. А есть ли в его плоскости под вопросом. отвечен 26 Фев '18 22:33 Witold2357 |
Таких чисел не существует. Пусть высота Н разбивает сторону на 2 отрезка $%Н_1$% и $%Н_2.$% Тогда $%H^2 + H_1^2 = a^2 (1); H^2 + H_2^2 = b^2 (2); H = H_1 + H_2 (3) $%. Подставляем $%(3)$% в $%(1)$% и $%(2)$% Имеем : $$(1) : 2H_1^2 + 2H_1H_2+ H_2^2 = a^2 ;$$ $$(2) : H_1^2 + 2H_1H_2 + 2H_2^2 = b^2 ;$$ Вычитаем из $%(1) - (2) : H_1^2- H_2^2 = a^2-b^2\Rightarrow$% $%(H_1-H_2)(H_1+H_2)= (a-b)(a+b).$% Но $% a+b> H_1+ H_2$% и $% a-b > H_1-H_2.$% Следовательно , таких чисел не существует. $% a$% и $% b$% - две стороны треугольника. отвечен 13 Июл '12 23:29 БредПит 1
$% a-b > H_1-H_2 ? $% Пусть $%a=5, h=4, h_1=3,h_2=1, b=\sqrt{17},$% тогда $%a-b<h_1-h_2$%
(13 Июл '12 23:47)
ASailyan
да . a-b - разность сторон. Н1-Н2 - разность проекций этих сторон на третью сторону
(13 Июл '12 23:50)
БредПит
Подставлять в (3) не обязательно, просто вычесть (2) из (1). Если верить @БредПит, то вообще не существует треугольников, у которых высота равна основанию. Ведь целочисленность он не использовал!
(14 Июл '12 20:14)
DocentI
|
Заинтересовала задачка очень... Вот что пришло в голову... Пусть высота, проведенная к основанию, и основание = h. Пусть высота поделила основание на отрезок а и h-а соответственно, и трегольник на 2 прямоугольных. Выражаем по т. Пифагора боковые стороны треугольника, потом по той же теореме выражаем высоту из 2-ух прям. треугольников, приравниваем. Из уравнения получаем: h=2а (треугольник - равнобедренный). тогда боковая сторона в квадрате : $$ а^{2} + (2а)^{2} = 5а^{2} $$ т.е. сама сторона имеет вид: $$ \sqrt[2]{5} а $$, что не является целым числом. отвечен 12 Июн '12 17:13 любитель Спасибо Вам за проявленный интерес к этой задаче, за попытку решить ее, но это решение не может быть принятым. Вы сами это поймете если внимательно проанализируете свое решение. Успехов Вам.
(12 Июн '12 17:46)
Anatoliy
|
Как вариант. Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту. В нашем случае площадь будет равна половине квадрата высоты. С другой стороны юзаем формулу Герона и выражаем площадь через две стороны и высоту (длина третьей стороны). Обе площади равны. Из равенства находим выражение для первой стороны и для второй стороны. Анализируем. Авось, чего-нибудь умное получится. Заниматься этим мне просто лень. отвечен 26 Июн '12 12:07 ferst Попробуйте этот вариант. Все-таки приятно получить ожидаемый результат. Успехов Вам.
(26 Июн '12 16:04)
Anatoliy
Нет, я такими вещами не балуюсь:) Жонглирование математическими символами - это не для меня:) С меня достаточно логики решения:) А в треугольнике много разных штучек, в которых можно поковыряться.
(26 Июн '12 18:10)
ferst
|
Задача олимпиадная (для школьников).
Бедные дети :\
Домашнее задание перед областным физико-математическим турниром. Могу предложить еще одну задачу для домашнего задания.
Было бы весьма интересно. Предложенная задача зацепила, а так как программный перебор длин высоты до 100 000 не дал результата, то предполагаю все же, что необходимо доказать отсутствие такого треугольника и, видимо, нужно как-то играть с иррациональностью получаемых в основании отрезков, но это еще обдумывать и обдумывать...
Хорошо, что эта задача была не на самой олимпиаде... Столько народу здесь решают и решить не могут... А решение сложное? Или мы просто чего-то не замечаем?
Нужно продолжить поиск решения. Награда за это - полученное решение.
Доказательство несуществования искомого треугольника представлено на форуме Мехмата МГУ в 2-х вариантах: мое (nickname: yog-urt) начало - link text (пост "А время гонит лошадей"(А.Пушкин)"), окончание - link text (пост "О свойствах треугольника, которого нет..." и Антона (nickname: Anton25) - там же (на с. 4, пост "Доказательство").
Если Вам нетрудно, то разместите решение здесь на форуме, чтобы это решение оценили участники форума.
Сейчас я очень занят. Свое доказательство систематизирую и представлю на следующей неделе. Anton25 свое решение разместил в абсолютно кондиционном виде.
@Anatoliy: Вы предлагали высказаться по поводу этой задачи. Я её видел, и мне кажется, что это весьма трудная и очень интересная задача. Здесь @Urt изложил исчерпывающее решение. Оно довольно естественное, и, судя по всему, трудно предложить что-то принципиально более простое. Единственное, что можно заметить -- это то, что в системе (11) невозможность решения сразу следует из соображений чётности. Переформулировка: уравнение $%(x-x^{-1}-1)+(y-y^{-1}-1)=0$% не имеет решений в рациональных числах. Это можно пытаться доказывать разными методами, но какого-то совсем простого решения я не знаю.
Спасибо за комментарий к этой задаче.