Исследовать на сходимость числовой ряд.

$% \sum\limits_ {n=1}^ \infty { \frac{3^n}{2^n(2n+1)}} $%

Согласно признаку Даламбера вычислим величину

$%l=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}({ \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}(2(n+1)+1)}}:{ \frac{3^n}{2^n(2n+1)}})= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}( \frac{3^n \times 3\times2^n(2n+1)}{3^n\times 2^n\times 2(2(n+1)+1)})=\frac{3}{2}\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2n+1}{2n+3}=\frac{3}{2}\times1 >1$%

Следовательно, по признаку Даламбера заданный ряд рассходится.

задан 7 Май '15 19:53

изменен 7 Май '15 22:27

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Пределы типа $%\sqrt[n]{n}$% равны 1, где под корнем может стоять линейная функция или любой полином. Поэтому здесь получается 3/2, что больше 1, то есть ряд расходится. Ясно, что $%3^n$% растёт намного быстрее, чем $%2^n$%, и тем более быстрее $%2n+1$%. Члены ряда не только не стремятся здесь к нулю, но даже стремятся к бесконечности.

Ещё проще здесь было бы применить признак Даламбера с тем же выводом.

(7 Май '15 19:59) falcao

@s1mka: предел последовательности $%\frac{2n+1}{2n+3}$% -- это совсем элементарная вещь, и ссылаться там на $%\frac{\infty}{\infty}$% не следует, потому что это "неопределённость", которая может быть равна чему угодно. Вы знаете, как надо вычислять такие пределы? Если нет, то давайте я расскажу :)

Вообще, если честно, то такой стиль оформления мне лично кажется очень громоздким. Вместо $%2(n+1)+1$% лучше сразу писать $%2n+3$%, потому что ясно, что это то же самое. Выделять множители у степеней тоже незачем. Это излишняя детализация, мне кажется.

И там не меньше единицы значение, а больше!

(7 Май '15 20:26) falcao
1

@s1mka: конечно, поскольку неравенство $%\frac32 > 1$% истинно. Более того, этот факт нужен, потому что мы ссылаемся на признак. Поэтому тут и сомнений никаких быть не должно. Мы что-то посчитали, не зная заранее, какое получится число. Если бы оно оказалось меньше 1, мы бы сказали, что ряд сходится. Если равно 1, то никакого вывода сделать нельзя (может быть по-всякому). А если больше 1, то ряд расходится.

(7 Май '15 21:14) falcao

@falcao можно немного полюбопытствовать не по теме? вы себя полностью посвятили математике? если не секрет сколько вам лет?

(7 Май '15 21:18) s1mka

@s1mka: да, я занимаюсь математикой, и больше ничем "по жизни", можно сказать, не занимался. По возрасту мне 50 с "хвостиком" :)

(7 Май '15 21:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,421
×1,500
×302

задан
7 Май '15 19:53

показан
319 раз

обновлен
7 Май '15 21:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru