Множество $%S$% положительных действительных чисел называется мощным, если для любых двух разных элементов $%a$%,$%b$% множества $%S$% хотя бы одно из чисел $%a^b$% или $%b^a$% принадлежит $%S$%.

а) Наведите пример четырехэлементного мощного множества.

б) Докажите, что любое конечное мощное множество содержит не более четырех разных элементов.

задан 8 Май '15 18:11

Интересная задача!
Пытался разбить числовую прямую на интервалы "меньше -1", -1, (-1; 0), 0, (0; 1), 1, "больше 1" и сделать перекрестную таблицу $%a^b$%: в какой интервал попадает результат, больше ли $%a^b$% чем $%a$% или нет и т.п. Терпения завершить не хватило, но почему-то мне кажется, что движусь в верном направлении.
В частности, ответ на пункт "а" выплывает сразу: -1, 0, 1, 2 (вместо двойки можно любое натуральное число)

(8 Май '15 23:07) chameleon

@chameleon: По условию рассматриваются только положительные числа.

(8 Май '15 23:42) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
2

а) Пример из четырёх чисел: $%1$%, $%\frac12$%, $%\frac14$%, $%\frac1{16}$%.

Он подходит, так как $%1^x=1$%, $%(\frac1{16})^{1/2}=\frac14$%, $%(\frac1{16})^{1/4}=\frac12$%, $%(\frac14)^{1/2}=\frac12$%.

Над вторым пунктом надо ещё подумать.

ссылка

отвечен 9 Май '15 3:00

10|600 символов нужно символов осталось
3
  1. Рассмотрим конечное мощное множество $%S_1$%. Множество $%S_2$%, полученное путем добавления в $%S_1$% единицы, тоже будет конечным и мощным. Поэтому, сведем задачу "б" к поиску конечных мощных множеств мощностью от 4, не содержащих единицу.
  2. Также, для удобства введём ряд $%a_i(i=1..N)$%, состоящий из элементов конечного мощного множества, расположенных в порядке убывания.
  3. Пусть $%a_1 > a_2 > 1$%, тогда по определению мощного множества либо $%a_1^{a_2}$% либо $%a_2^{a_1}$% также принадлежит множеству. Но $%a_1^{a_2} > a_1$%, а $%a_1$% - максимальный элемент множества, следовательно элементом множества является $%a_2^{a_1}$%. $%a_2^{a_1} > a_2 \Rightarrow a_2^{a_1} = a_1$%.
  4. Пусть $%a_1 > a_2 > a_3 > 1$%, тогда путем аналогичных рассуждений $%a_3^{a_1}\in\{a_1,a_2\}$%. $%a_1 = a_2^{a_1} \Rightarrow a_3^{a_1} = a_2$%. Также либо $%a_2^{a_3} = a_1$% либо $%a_3^{a_2} \in \{a_2,a_1\}$%. Но все эти варианты не подходят, т.к. $%a_2^{a_1} = a_1, a_3^{a_1} = a_2, a_3^{a_2} < a_3^{a_1}$%. Следовательно, конечное мощное множество не может содержать более 2 элементов, больших единицы.
  5. Пусть $%a_N < 1; a_1 > 1 > a_2$%. Но $%1 < a_1^{a_N} < a_1; a_N^{a_1} < a_N$% - противоречие. Аналогичным образом отсеивается вариант $%a_1 > a_2 > 1 > a_N$%. Следовательно, конечное мощное множество не может одновременно содержать и элементы, большие единицы, и элементы, меньшие единицы. То есть, все элементы конечного мощного множества мощностью от 4 находятся в интервале $%(0;1]$%.
  6. Далее будем исследовать именно этот интервал $%(0;1]$%. На нем также действует правило $%a^b > a$%, так что получаем $%a_2^{a_1} = a_1$%, как и в третьем пункте. Но, в отличие от четвертого пункта, $%a_3^{a_2} > a_3^{a_1}$%, так что для $%a_3$% остается лишь один вариант: $%a_3^{a_2}=a_1$%. По этим формулам получаем множество ответов на пункт "а".
  7. Переберём возможные варианты для $%a_4$%:
    $%a_4^{a_1}\in\{a_1,a_2,a_3\}$%
    $%a_4^{a_2}\in\{a_1,a_2,a_3\}$% либо $%a_2^{a_4}=a_1$%
    $%a_4^{a_3}\in\{a_1,a_2,a_3\}$% либо $%a_3^{a_4}\in\{a_1,a_2\}$%
    Путем исключения вариантов, невозможных из-за уникальности элементов, получаем:
    $%a_4^{a_1}\in\{a_2,a_3\}$%
    $%a_4^{a_2}\in\{a_2,a_3\}$%
    $%a_4^{a_3}\in\{a_1,a_2,a_3\}$% либо $%a_3^{a_4}=a_2$%
    Из убывания функции $%y(x)=a_4^x$% на исследуемом интервале и из уникальности значений ряда следует, что $%a_4^{a_1}=a_3$%, а $%a_4^{a_2}=a_2$%. Снова исключим противоречивые "по уникальности значений" варианты из третьей строки, остается: $%a_3^{a_4}=a_2$% либо $%a_4^{a_3}=a_1$%. Проверим первый вариант: $$a_3^{a_4}=a_2 \Rightarrow (a_3^{a_4})^{a_1}=a_2^{a_1} \Rightarrow a_3^{a_1 a_4}=a_1 \Rightarrow (a_3^{a_2})^{a_1 a_4}=a_1^{a_2} \Rightarrow a_1^{a_1 a_4}=a_1^{a_2} \Rightarrow a_1 a_4=a_2$$ Но $%a_1 a_4 < a_4 < a_2$% - противоречие.
    Проверим второй вариант: $%a_4^{a_3}=a_1 \Rightarrow ((a_4^{a_2})^{a_1})^{a_3}=a_1^{a_1 a_2} \Rightarrow a_1^{a_3}=a_1^{a_1 a_2} \Rightarrow a_3=a_1 a_2$% $$\Rightarrow a_3^{a_2}=a_1^{a_2} a_2^{a_2} \Rightarrow a_1=a_1^{a_2} a_2^{a_2} \Rightarrow a_1^{a_2-1}a_2^{a_2}=1 \Rightarrow a_1^{a_1(a_2-1)}(a_2^{a_1})^{a_2}=1 \Rightarrow a_1^{a_1(a_2-1)}a_1^{a_2}=1$$ $$\Rightarrow a_1(a_2-1)+a_2=0 \Rightarrow a_2={a_1\over{a_1+1}} \Rightarrow a_1=({a_1\over{a_1+1}})^{a_1}$$ Отсюда бинарным поиском получаем $%a_1\approx0.562817$%. По полученным ранее формулам проверяем остальные элементы множества - не сходится.

Все возможные варианты элементов множества исключены, следовательно любое конечное мощное множество содержит не более четырех разных элементов, ч.т.д.

ссылка

отвечен 9 Май '15 18:57

@chameleon: это совершенно исчерпывающий разбор. Мне понравилось то, что для случая трёх чисел (без 1) получается полное описание, куда не входит 4-е число. После пункта 6 получается, что наибольшие числа -- это 1/2, 1/4, 1/16 (других вариантов нет). Тогда присоединение следующего числа очень быстро приводит к противоречию.

(10 Май '15 19:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×480

задан
8 Май '15 18:11

показан
393 раза

обновлен
10 Май '15 19:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru