|
Вычислить выражение $%\frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}},$% ($%n>2$%-целое). подскажите с чего начать задан 8 Май '15 20:45 
s1mka
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
$$\frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}=\frac{(1+i)^n(1-i)^2}{(1-i)^{n-2}(1-i)^2}=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n(1-i)^2=\\=\left(\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right)^n(1-i)^2=\left(\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}\right)^n(1-i)^2=\\=\left(\frac{1+2i-1}{1+1}\right)^n(1-i)^2=i^n(1-i)^2=i^n(1-2i-1)=-2i^{n+1}.$$ или таким способом $$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right),1-i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}4-i\sin\frac{\pi}4\right),$$ $$\frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}=\frac{(\sqrt{2})^n\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right)^n}{(\sqrt{2})^{n-2}\left(\cos\frac{\pi}4-i\sin\frac{\pi}4\right)^{n-2}}=2\frac{\cos\frac{\pi n}4+i\sin\frac{\pi n}4}{\cos\frac{\pi(n-2)}4-i\sin\frac{\pi(n-2)}4}...$$ отвечен 8 Май '15 22:15 
EdwardTurJ @EdwardTurJ я не понимаю почему мы когда решаем по формуле муавра считаем что $%n=2$%? Под и я так понимаю вы иммели ввиду "посмотри теорию".
(8 Май '15 22:19)
s1mka
@s1mka: В первом способе не используется формула Муавра, а только арифметические действия над комплексными числами. Формула Муавра здесь не очень удобно использовать - надо рассматривать остатки от деления $%n$% на $%4$%.
(8 Май '15 22:25)
EdwardTurJ
@EdwardTurJ получается, что если решать первым способом, то на этом ответе $%-2i^{n-+1}$%мы и останавливается дальше никаких преобразований уже не будет?
(8 Май '15 22:41)
s1mka
@s1mka: Можно ещё рассмотреть остатки от деления n на 4.
(8 Май '15 22:43)
EdwardTurJ
|
$$\frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}=\left(\frac{(1+i}{1-i}\right)^n(1-i)^2=\left(\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}\right)^n(1-i)^2=i^n(1-i)^2=...$$ или $$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right),$$ и https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Муавра
@EdwardTurJ здесь может быть два ответа? или что должно быть после ...?
@EdwardTurJ и еще как из первой формулы получается втораЯ, и в третьей у нас в дроби появляется квадрат
@s1mka: при выполнении обычных арифметических действий ответ только один. Несколько значений ответа может получиться при извлечении корней $%n$%-й степени.
Все алгебраические преобразования здесь очевидны -- даже неясно, что именно надо пояснять. Проверьте справедливость каждой из формул при переходе справа налево -- тогда будет понятно. Сократили на $%1+i$%, потом на $%(1-i)^2$%.
@falcao я не могу понять просто второй способ
@s1mka: формула Муавра очень часто используется при возведении комплексных чисел в степени. Но в данном случае проще обойтись без неё. Другой способ лучше отработать на каком-нибудь более подходящем примере. Для этого надо сначала изучить тему "тригонометрическая форма комплексного числа". Это всё есть в любом стандартном учебнике.