Вычислить выражение $%\frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}},$% ($%n>2$%-целое). подскажите с чего начать

задан 8 Май '15 20:45

изменен 8 Май '15 21:29

EdwardTurJ's gravatar image


5041135

$$\frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}=\left(\frac{(1+i}{1-i}\right)^n(1-i)^2=\left(\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}\right)^n(1-i)^2=i^n(1-i)^2=...$$ или $$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right),$$ и https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Муавра

(8 Май '15 21:09) EdwardTurJ

@EdwardTurJ здесь может быть два ответа? или что должно быть после ...?

(8 Май '15 22:03) s1mka

@EdwardTurJ и еще как из первой формулы получается втораЯ, и в третьей у нас в дроби появляется квадрат

(8 Май '15 22:04) s1mka

@s1mka: при выполнении обычных арифметических действий ответ только один. Несколько значений ответа может получиться при извлечении корней $%n$%-й степени.

Все алгебраические преобразования здесь очевидны -- даже неясно, что именно надо пояснять. Проверьте справедливость каждой из формул при переходе справа налево -- тогда будет понятно. Сократили на $%1+i$%, потом на $%(1-i)^2$%.

(8 Май '15 22:17) falcao

@falcao я не могу понять просто второй способ

(8 Май '15 22:38) s1mka

@s1mka: формула Муавра очень часто используется при возведении комплексных чисел в степени. Но в данном случае проще обойтись без неё. Другой способ лучше отработать на каком-нибудь более подходящем примере. Для этого надо сначала изучить тему "тригонометрическая форма комплексного числа". Это всё есть в любом стандартном учебнике.

(8 Май '15 22:42) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}=\frac{(1+i)^n(1-i)^2}{(1-i)^{n-2}(1-i)^2}=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n(1-i)^2=\\=\left(\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right)^n(1-i)^2=\left(\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}\right)^n(1-i)^2=\\=\left(\frac{1+2i-1}{1+1}\right)^n(1-i)^2=i^n(1-i)^2=i^n(1-2i-1)=-2i^{n+1}.$$ или таким способом $$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right),1-i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}4-i\sin\frac{\pi}4\right),$$ $$\frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}=\frac{(\sqrt{2})^n\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right)^n}{(\sqrt{2})^{n-2}\left(\cos\frac{\pi}4-i\sin\frac{\pi}4\right)^{n-2}}=2\frac{\cos\frac{\pi n}4+i\sin\frac{\pi n}4}{\cos\frac{\pi(n-2)}4-i\sin\frac{\pi(n-2)}4}...$$

ссылка

отвечен 8 Май '15 22:15

изменен 8 Май '15 22:49

@EdwardTurJ я не понимаю почему мы когда решаем по формуле муавра считаем что $%n=2$%? Под и я так понимаю вы иммели ввиду "посмотри теорию".

(8 Май '15 22:19) s1mka

@s1mka: В первом способе не используется формула Муавра, а только арифметические действия над комплексными числами.

Формула Муавра здесь не очень удобно использовать - надо рассматривать остатки от деления $%n$% на $%4$%.

(8 Май '15 22:25) EdwardTurJ

@EdwardTurJ получается, что если решать первым способом, то на этом ответе $%-2i^{n-+1}$%мы и останавливается дальше никаких преобразований уже не будет?

(8 Май '15 22:41) s1mka

@s1mka: Можно ещё рассмотреть остатки от деления n на 4.

(8 Май '15 22:43) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,131
×1,420
×386

задан
8 Май '15 20:45

показан
418 раз

обновлен
8 Май '15 22:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru