1. Доказать, что в любом поле характеристики $%2$% уравнение $%x^2+x+1 = 0$% либо имеет ровно $%2$% различных корня, либо не имеет корней вовсе.
  2. Сколько различных корней имеет уравнение $%x^2+x+1 = 0$% в поле $%\mathbb F_{512}$%?
  3. Сколько различных корней имеет уравнение $%x^{26}+x^8+x^2+1 = 0$% в поле $%\mathbb F_{81}$%?

задан 8 Май '15 23:17

@Poncho, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(9 Май '15 9:32) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Хотя формула нахождения корней квадратных уравнений для полей характеристики 2 неприменима, многочлен второй степени над любым полем либо имеет два различных корня, либо не имеет корней, либо имеет кратный корень, что следует из теоремы Безу.

В данном случае очевидно, что кратного корня нет, так как $%(x+a)^2=x^2+a^2$% над полем характеристики 2, и коэффициент при $%x$% у такого многочлена был бы равен нулю.

2) Из условия $%x^2+x+1=0$% следует, что $%x^3=1$%. Мультипликативная группа поля из 512 элементов имеет порядок 511, что не кратно 3. Следовательно, элементов порядка 3 в группе нет. Отсюда $%x=1$%, но это не корень. Следовательно, в данном случае корней не имеется.

3) Нужно использовать два факта. Первый: $%(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3$% в любом поле характеристики $%3$%. Можно заметить, что этот факт верен для любого простого $%p$%, то есть $%(a+b)^p=a^p+b^p$% над полем характеристики $%p$% (это так называемая "детская биномиальная теорема").

Из сказанного следует, что куб суммы равен сумме кубов для любого числа слагаемых.

Второй факт: ввиду того, что мультипликативная группа поля имеет порядок 80, всякий её элемент удовлетворяет тождеству $%x^{80}=1$%. Поэтому все элементы поля являются корнями многочлена $%x^{81}-x$%, который в силу теоремы Безу разложим на линейные множители: $%x^{81}-x=(x-\alpha_1)\ldots(x-\alpha_{81})$%, где $%\alpha_1$% , ... , $%\alpha_{81}$% -- все элементы поля.

Рассмотрим кольцо многочленов $%\mathbb Z_3[x]$%. В нём также верно упомянутое выше правило возведения в куб. Поэтому, по модулю многочлена $%x^{26}+x^8+x^2+1$% (то есть в соответствующем факторкольце) выполнены равенства $%x^{27}=-x^9-x^3-x$%, и далее $%x^{81}=-x^{27}-x^9-x^3=x$%, откуда следует, что $%x^{81}-x$% делится на $%f(x)=x^{26}+x^8+x^2+1$% в кольце многочленов с коэффициентами из $%\mathbb Z_3$%, то есть $%x^{81}-x=f(x)g(x)$% для некоторых многочленов над $%\mathbb Z_3$%.

Ввиду того, что многочлен $%x^{81}-x$% разложим на линейные множители над полем $%\mathbb F_{81}$%, это же свойство верно для любого его делителя. Обосновывается это так: подставляя элементы $%\alpha_i$% ($%1\le i\le81$%) в тождество $%x^{81}-x=f(x)g(x)$%, мы будем получать $%f(\alpha_i)=0$% или $%g(\alpha_i)=0$%. Ввиду того, что сумма степеней многочленов $%f$% и $%g$% равна 81, получается, что $%f$% имеет ровно 26 корней, а $%g$% ровно 55 (в противном случае у какого-то из них количество корней было бы больше его степени). Таким образом, $%f(x)$% имеет ровно 26 корней (попарно различных) в поле $%\mathbb F_{81}$%.

ссылка

отвечен 9 Май '15 1:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,258
×555

задан
8 Май '15 23:17

показан
2084 раза

обновлен
9 Май '15 9:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru