Решить сравнение
$$1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \equiv 0\pmod{29}$$

задан 8 Май '15 23:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ввиду того, что $%x=1$% не является корнем сравнения, можно произвести домножение, приходя к равносильному условию $%x^7\equiv1\pmod{29}$% (вместе с оговоркой, сделанной выше). Можно заметить из общих соображений, что мультипликативная группа поля $%\mathbb Z_{29}$% циклична и состоит из 28 элементов. Поэтому уравнение имеет ровно 7 решений в циклической группе, из которых $%1$% мы не считаем, то есть наше уравнение имеет в точности 6 решений.

Чтобы их найти, нужно или воспользоваться готовыми таблицами индексов по модулю 29 (они имеются во многих учебниках или задачниках в качестве приложения), или вручную найти первообразный корень по модулю 29. В качестве такового подходит число $%a=2$%. Проверка состоит в том, что ни $%a^{14}$%, ни $%a^{4}$% не равно единице в группе.

Теперь нам надо взять элементы вида $%\{a^4,a^8,a^{12},a^{16},a^{20},a^{24}\}$%. Они вычисляются последовательно: каждое очередное число получается из предыдущего умножением на 16 и взятием остатка от деления на 29. Прямое вычисление показывает, что при этом получается такое множество (числа упорядочили по возрастанию): $%\{7,16,20,23,24,25\}$%.

Это же самое видно из таблиц: отбираются те числа, у которых индекс кратен 4.

ссылка

отвечен 9 Май '15 0:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730
×308
×44

задан
8 Май '15 23:31

показан
298 раз

обновлен
9 Май '15 0:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru