Элемент $%a$% порождает мультипликативную группу поля $%\mathbb F$% из $%343$% элементов. Является ли многочлен $%x^2+ax-a+2a^2$% неприводимым в кольце многочленов $%\mathbb F[x]$%?

задан 8 Май '15 23:38

10|600 символов нужно символов осталось
1

Да, является.

Прежде всего, надо заметить, что порождающий элемент $%a$% мультипликативной группы поля не является квадратом. Действительно, если $%a=b^2$%, то $%a^{171}=b^{342}=1$%, и $%a$% порождает не всю группу.

Допустим, что многочлен приводим. Тогда он разложим на линейные множители: $%x^2+ax-a+2a^2=(x-x_1)(x-x_2)$% для некоторых $%x_1,x_2\in\mathbb F$%. По теореме Виета, $%x_1+x_2=-a$% и $%x_1x_2=-a+2a^2$%. Тогда $%(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=a^2+4a-8a^2=4a$% в поле характеристики 7 (заметим, что квадрат разности корней -- это дискриминант).

Умножая обе части на 9, имеем $%a=36a=9(x_1-x_2)^2=(3x_1-3x_2)^2$%, что противоречит сказанному выше.

ссылка

отвечен 9 Май '15 1:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,018
×433
×415

задан
8 Май '15 23:38

показан
630 раз

обновлен
9 Май '15 9:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru