высшая-математика - Извлечь корень из комплексного числа

Извлечь корень из комплексного числа $%\sqrt[5]{-4+3i}$%

Находим тригонометрическую форму комплексного числа $%z = -4+3i$%

$%x=Re(z)=-4, y=Im(z)=3$%

$%|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$%

Поскольку $%x < 0, y ≥ 0$%, то $%z$% находим как:

$%arg z=\phi=\pi-arctg(\frac{y}{|x|})$%

$%\phi=\pi-arctg(\frac{3}{|-4|})=-arctg(\frac{3}{4})+\pi$%

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа $%z = -4+3i$%

$%z=5(\cos(-arctg(\frac{3}{4})+\pi)+i \sin(-arctg(\frac{3}{4})+\pi)$%

Извлекаем корни по формуле:

$%z_k=\sqrt[5]{z}=\sqrt[5]{|z|}(\cos(\frac{\phi+2\pi k}{5})+i \sin(\frac{\phi+2\pi k}{5})), k= \overline{0,5} $%

$%k=0$%

$%z_0=\sqrt[5]{|z|}(\cos(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+\pi+2\pi \times 0}{5})+i \sin(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+\pi+2\pi \times 0}{5}))$%

$%z_0=\sqrt[5]{5}(\cos(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+\pi}{5})+i \sin(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+\pi}{5}))$%

$%k=1$%

$%z_1=\sqrt[5]{|z|}(\cos(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+\pi+2\pi \times 1}{5})+i \sin(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+\pi+2\pi \times 1}{5}))$%

$%z_1=\sqrt[5]{5}(\cos(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+3\pi}{5})+i \sin(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+3\pi}{5}))$%

$%k=2$%

$%z_2=\sqrt[5]{|z|}(\cos(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+\pi+2\pi \times 2}{5})+i \sin(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+\pi+2\pi \times 2}{5}))$%

$%z_2=\sqrt[5]{5}(\cos(\frac{-1}{5}{arctg(\frac{3}{4})+\pi})+i \sin(\frac{-1}{5}{arctg(\frac{3}{4})+\pi}))$%

$%k=3$%

$%z_3=\sqrt[5]{|z|}(\cos(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+\pi+2\pi \times 3}{5})+i \sin(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+\pi+2\pi \times 3}{5}))$%

$%z_3=\sqrt[5]{5}(\cos(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+7\pi}{5})+i \sin(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+7\pi}{5}))$%

$%k=4$%

$%z_4=\sqrt[5]{|z|}(\cos(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+\pi+2\pi \times 4}{5})+i \sin(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+\pi+2\pi \times 4}{5}))$%

$%z_4=\sqrt[5]{5}(\cos(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+9\pi}{5})+i \sin(\frac{-arctg(\frac{3}{4})+9\pi}{5}))$%