1) Пусть линейное преобразование $%\varphi \ n$%-мерного линейного пространства $%\mathcal L$% обладает цепочкой вложенных друг в друга попарно различных инвариантных подпространств: $%\mathcal L_1\subset \mathcal L_2\subset\ ...\ \subset\mathcal L_n=\mathcal L$%. Доказать, что в $%\mathcal L$% существует базис, в котором матрица преобразования $%\varphi$% верхняя треугольная.
2) Пусть в базисе $%e_1, \ ...,\ e_n $% матрица линейного преобразования $%\varphi$% пространства $%\mathcal L$% верхняя треугольная. Доказать, что подпространства $%\mathcal {L_k=L} \{e_1, \ ...,\ e_k\} \ (k=1,...,n)$% инвариантны относительно $%\varphi$% и $%\mathcal{L_k\subset L_{k+1}} (k=1,...,n-1)$%.

задан 9 Май '15 16:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Из условия ясно, что $%\dim{\cal L}_k=k$% для всех $%k$%. Выберем базис в $%{\cal L}_1$% из одного вектора $%e_1$%, дополним его до базиса в $%{\cal L}_2$% вектором $%e_2$%, и так далее. В конце получим базис $%e_1$%, ... , $%e_n$% пространства $%\cal L$%.

Ввиду того, что $%{\cal L}_k$% инвариантно, вектор $%\varphi(e_k)$% принадлежит этому пространству, то есть является линейной комбинацией векторов $%e_1$%, ... , $%e_k$%. Это значит, что все координаты вектора $%\varphi(e_k)$% в данном базисе кроме первых $%k$% из них, являются нулевыми. Если записать эти координаты в столбцы матрицы, то получится верхнетреугольная матрица: ниже главной диагонали будут нули. Действительно, если $%i > j$%, то на соответствующем месте у матрицы находится $%i$%-я координата вектора $%\varphi(e_j)$%, и она по построению равна нулю.

2) В обратную сторону всё практически то же самое. Поскольку матрица верхнетреугольная, получается, что $%\varphi(e_k)$% является линейной комбинацией векторов $%e_1$%, ... , $%e_k$% для всех $%1\le k\le n$%. Отсюда следует, что $%\varphi({\cal L}_k)$% содержится в $%{\cal L}_k$%.

Вложенность подпространств очевидна из построения: $%\cal L_k$% содержится в $%\cal L_{k+1}$% при всех $%1\le k < n$%. Включения являются собственными, так как размерность одного пространства равна $%k$%, а другого $%k+1$%.

ссылка

отвечен 9 Май '15 16:28

изменен 9 Май '15 16:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,030
×123
×105

задан
9 Май '15 16:12

показан
760 раз

обновлен
9 Май '15 16:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru