Первый раз сталкиваюсь с задачей по наклону граней. Только начал изучать. Я здесь сразу увидел Пифагоровский треугольник и то, что здесь как-то задействованы серединные перпендикуляры, соответственно и вписанная окружность. Но как это все связать, объяснить и привести в читабельный вид.

задан 9 Май '15 17:34

изменен 10 Май '15 12:32

@ENERGzR, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(9 Май '15 20:52) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку каждая боковая грань наклонена к основанию под одним и тем же углом, то вершина пирамиды проектируется в точку, равноудалённую от сторон основания, то есть в центр вписанной окружности.

Далее последовательно находим: радиус вписанной окружности, высоту пирамиды, высоты боковых граней, площадь основания, площади боковых граней.

ссылка

отвечен 9 Май '15 18:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим высоту $%DO$% пирамиды. Из точки $%O$% опустим перпендикуляры $%OA_1$%, $%OB_1$%, $%OC_1$% на стороны основания $%BC$%, $%CA$%, $%AB$% соответственно.

Легко видеть, что сторона $%BC$% перпендикулярна как $%OA_1$% (по построению), так и $%DO$% (перпендикуляру к плоскости). Значит, она перпендикулярна плоскости $%DOA_1$%, и эта плоскость является сечением двугранного угла между основанием и боковой гранью $%DBC$%. По условию, угол $%DA_1O$% равен 45 градусам, то есть треугольник $%DA_1O$% -- равнобедренный прямоугольный. В нём $%OA_1=DO$%, то есть расстояние от точки $%O$% до стороны $%BC$% равно высоте пирамиды.

Поскольку высота является общей, получается, что расстояния от $%O$% до всех трёх сторон одинаковы: $%OA_1=OB_1=OC_1$%. Это значит, что $%O$% является центром вписанной в треугольник окружности. Пусть $%r$% -- её радиус.

Согласно известной формуле, $%r=S/p$%, где $%S=\frac12\cdot8\cdot6=24$% -- площадь основания (треугольник прямоугольный), а $%p=(10+8+6)/2=12$% -- полупериметр. Поэтому $%r=2$%. Далее замечаем, что $%DA_1=DB_1=DC_1=r\sqrt2$% (гипотенузы равнобедренных прямоугольных треугольников). Суммируя площади боковых граней, получаем площадь боковой поверхности: $%S_{бок}=\frac12(DA_1\cdot BC+DB_1\cdot CA+DC_1\cdot AB)=\frac{r\sqrt2}2(10+8+6)=pr\sqrt2=S\sqrt2=24\sqrt2$%.

К этому же выводу можно прийти проще. При проектировании плоской фигуры на основание, её площадь умножается на косинус угла между плоскостями, то есть в данном случае на $%\frac1{\sqrt2}$%. Сумма площадей проекций здесь равна площади основания, то есть $%24$%, откуда получается ответ.

ссылка

отвечен 9 Май '15 18:55

спасибо, разобрался)

(10 Май '15 12:33) ENERGzR
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,575

задан
9 Май '15 17:34

показан
442 раза

обновлен
10 Май '15 12:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru