Доказать, что квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты характеристического многочлена ее матрицы отличны от нуля и знаки этих коэффициентов чередуются, причем свободный член положителен.

задан 9 Май '15 18:17

10|600 символов нужно символов осталось
0

Положительно определённую форму можно привести ортогональным преобразованием к сумме квадратов с положительными коэффициентами. Это значит, что для некоторой ортогональной матрицы $%Q$% исходная матрица $%A$% данной формы примет диагональный вид $%Q^TAQ$% с положительными числами на диагонали.

Ввиду того, что $%Q^T=Q^{-1}$% (ортогональность матрицы), получится матрица $%Q^{-1}AQ$%, сопряжённая исходной. Характеристический многочлен у неё такой же, поэтому $%P_A(t)=(\lambda_1-t)\ldots(\lambda_n-t)$%, где все числа вида $%\lambda_i$% положительны. При раскрытии скобок получится многочлен вида $%a_0-a_1t+a_2t^2-\cdots$% с положительным свободным членом и чередующимися знаками. При этом $%a_k > 0$% при всех $%0\le k\le n$%.

Допустим, что форма не положительно определена. Тогда при помощи тех же преобразований получится характеристический многочлен $%P_A(t)=(\lambda_1-t)\ldots(\lambda_n-t)$%, где не все числа вида $%\lambda_i$% положительны, то есть он имеет нулевые или отрицательные корни.

Предположим, что после раскрытия скобок по-прежнему получается многочлен вида $%P_A(t)=a_0-a_1t+a_2t^2-\cdots$%, где $%a_k > 0$% при всех $%0\le k\le n$%. Тогда $%P_A(-t)=a_0+a_1t+a_2t^2+\cdots > 0$% для всех $%t\ge0$%, и это значит, что нулевых или отрицательных корней многочлен $%P_A(t)$% не имеет. Полученное противоречие доказывает обратное утверждение.

ссылка

отвечен 9 Май '15 20:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×939
×310
×33

задан
9 Май '15 18:17

показан
364 раза

обновлен
9 Май '15 20:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru