Вычислить несобственный интеграл и доказать его расходимость:

$$\int\limits_0^2 \frac {x^5 dx}{\sqrt{4-x^2}}$$

задан 9 Май '15 18:47

изменен 9 Май '15 21:18

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

$$x^5(4-x^2)^{\frac12}$$ См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциальный_бином , второй случай.

(9 Май '15 19:26) EdwardTurJ

Мне кажется лучше тригонометрическая замена: уйдем от несобственного интеграла по крайней мере

(9 Май '15 22:01) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
0

Видимо, в условии было "вычислить ИЛИ доказать расходимость".

Здесь первообразная находится в явном виде. С тригонометрической заменой проще всего. Полагаем $%x=2\sin t$%, где $%0\le t\le\pi/2$%. При этом $%dx=2\cos t\,dt$%, и также $%\sqrt{4-x^2}=2\cos t$%. Получается $%2^5\int\limits_0^{\pi/2}\sin^5t\,dt$%. Уже отсюда видно, что интеграл сходящийся.

Далее применяем тригонометрические тождества, включая формулы понижения степени. Окончательным ответом будет $%\frac{256}{15}$%.

ссылка

отвечен 9 Май '15 23:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,021

задан
9 Май '15 18:47

показан
624 раза

обновлен
9 Май '15 23:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru