Пусть $%a_1, a_2,..., a_n$% - корни уравнения $%z^n=1$%. Чему равно значение выражения $%a_1^k+a_2^k+...+a_n^k$%, где $%k$% - некоторое натуральное число?

задан 9 Май '15 20:46

изменен 9 Май '15 21:20

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

По-моему, тут более явную форму ответа можно получить.

Если $%k$% делится на $%n$%, то получится сумма единиц, то есть $%n$%.

Предположим, что $%k$% не делится на $%n$%. Положим $%a=e^{2\pi/n}$% (первообразный корень степени $%n$% из единицы). Мы знаем, что $%a^k\ne1$%, поскольку $%k$% не кратно $%n$%. При умножении на $%a$% происходит поворот комплексной плоскости на угол, при котором все корни $%n$%-й степени отображаются на себя (они расположены в вершинах правильного $%n$%-угольника). Поэтому $%\{a_1,\ldots,a_n\}-\{aa_1,\ldots,aa_n\}$%. Тогда $%a^k(a_1^k+\cdots+a_n^k)=(aa_1)^k+\cdots+(aa_n)^k=a_1^k+\cdots+a_n^k$%, откуда ввиду $%a^k\ne1$% получается, что сумма равна нулю.

ссылка

отвечен 9 Май '15 21:45

@falcao: С тригонометрией чуть не "дотянул" до ответа - осталось применить формулы разности синусов и разности косинусов.

(9 Май '15 21:53) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×515

задан
9 Май '15 20:46

показан
598 раз

обновлен
9 Май '15 21:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru