Найти все многочлены $%P(x)$% такие, что для произвольных целых $%x,y$% и $%z$% таких, что $%x+y+z\ne0$% число $$\frac{P(x)+P(y)+P(z)}{x+y+z}$$ целое.

задан 9 Май '15 23:13

Мне при первом размышлении показалось, что тут нет ничего кроме многочленов вида $%P(x)=kx$%. Наверное, это было бы как-то слишком просто?

(10 Май '15 1:27) falcao

@falcao: Да, только это решение.

(10 Май '15 9:43) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: можно ли тогда "по умолчанию" считать целыми коэффициенты многочленов, или этот факт полагается вывести из условия?

(10 Май '15 16:57) falcao

@falcao: Факт того, что коэффициенты целые, следует вывести из условия.

(10 Май '15 17:57) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: сейчас сделаю добавление.

(10 Май '15 19:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

У меня было такое рассуждение. Положим $%x+y+z=n\in\mathbb N$%. Тогда $%P(x)+P(y)+P(n-x-y)$% делится на $%n$% при любых целых $%x$%, $%y$%. Если считать коэффициенты многочленов целыми, то можно раскрыть скобки в степенях $%n-x-y$% и убрать те одночлены, которые содержат $%n$%. Тогда получится, что $%P(x)+P(y)+P(-x-y)$% делится на любое натуральное $%n$%, то есть это тождественно нулевой многочлен. Считая, что старший член $%P$% равен единице, а степень равна $%m$%, замечаем, что $%m$% должно быть нечётным. Тогда получается $%x^m+y^m-(x+y)^m$% плюс члены меньшей степени. Если $%m > 1$%, то после раскрытия скобок останутся члены степени $%m$%, которые ни с чем не сокращаются. Из этого следует, что $%P(x)=kx$% (свободный член здесь равен нулю).

Добавление. Если изначально не дано, что коэффициенты многочлена целые, то сведём задачу к этому случаю. Прежде всего, если коэффициенты рациональны, то можно домножить многочлен на целое число, сделав все коэффициенты целыми. При этом свойство делимости сохраняется, и получается многочлен вида $%P(x)=kx$%, где $%k$% целое. Поэтому остаётся показать, что коэффициенты рациональны.

Для каждого натурального $%n$% и любых целых $%x$%, $%y$%, число $%P(x)+P(y)+P(n-x-y)$% целое. Заменяя $%n$% на $%n+1$%, мы получаем, что $%P(n+1-t)-P(n-t)$% целое при любом целом $%t$%. Мы также знаем, что $%P(0)$% целое (при $%x=y=0$% в изначальном условии), и тогда целыми оказываются $%P(1)$%, $%P(2)$%, ... и так далее. Беря достаточно много таких значений, строим интерполяционный многочлен Лагранжа. Он имеет рациональные коэффициенты.

ссылка

отвечен 10 Май '15 17:20

изменен 10 Май '15 19:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×74

задан
9 Май '15 23:13

показан
561 раз

обновлен
10 Май '15 19:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru