Указать пример коммутативного кольца с единицей $%R$% и его подкольца $%R'$%, таких что $%R'$% также является кольцом с единицей $%u$%, но $%u \not= 1$%.

задан 10 Май '15 1:33

10|600 символов нужно символов осталось
2

Имеется стандартная конструкция присоединения единицы к кольцу -- независимо от того, была ли единица в исходном кольце. Пусть $%R$% -- кольцо, и пусть $%\lambda$% -- некоторый символ, не принадлежащий $%R$%. Мы хотим построить новое кольцо, содержащее $%R$% и $%\lambda$%, в котором $%\lambda$% является единицей. Для этого надо присоединить все элементы вида $%x+k\lambda$%, где $%k$% целое. Элементы такого вида складываются стандартным образом, а для умножения, если такая конструкция проходит, должно выполняться условие $%(x+k\lambda)(y+m\lambda)=xy+mx+ky+km\lambda$%.

Это соображение подсказывает формальный способ построения такого кольца. Рассмотрим декартово произведение $%R\times\mathbb Z$%. На нём зададим две бинарных операции: $%(x,k)+(y,m)=(x+y,k+m)$% и $%(x,k)\cdot(y,m)=(xy+mx+ky,km)$%. Непосредственно проверяются все аксиомы кольца, включая коммутативность, если таковая имела место в $%R$%.

Элемент $%(0,1)$% построенного кольца является нейтральным элементом относительно умножения, то есть единицей кольца. Правило $%x\mapsto(x,0)$% задаёт изоморфное вложение $%R$% в $%R\times\mathbb Z$%. Тем самым, новое кольцо содержит изоморфную копию кольца $%R$%. Если взять любое кольцо с единицей в качестве $%R$%, то мы получим искомый пример (с точностью до обозначений).

В принципе, нетрудно привести и другие примеры (более простые), но данная конструкция вложения полезна сама по себе.

ссылка

отвечен 10 Май '15 3:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,258
×555

задан
10 Май '15 1:33

показан
950 раз

обновлен
10 Май '15 3:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru