В коммутативном кольце с $%0 \not= 1$% уравнение $%x^2 = 2$% имеет $%3$% различных решения. Доказать, что в $%R$% есть делители нуля.

задан 10 Май '15 1:37

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%x_0$% -- некоторое фиксированное решение данного уравнения, и пусть $%x$% -- произвольное его решение. Тогда $%x^2=2=x_0^2$%, откуда $%x^2-x_0^2=0$%. В коммутативном кольце справедливо тождество $%(x-x_0)(x+x_0)=x^2+xx_0-x_0x-x_0^2=x^2-x_0^2$%, поэтому $%(x-x_0)(x+x_0)=0$%. Если кольцо $%R$% не имеет делителей нуля, то $%x-x_0=0$% или $%x+x_0=0$%, откуда $%x\in\{x_0;-x_0\}$%, то есть множество решений состоит не более чем из двух элементов. Противоречие.

ссылка

отвечен 10 Май '15 2:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730
×308

задан
10 Май '15 1:37

показан
277 раз

обновлен
10 Май '15 2:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru