Решить систему линейных однородных уравнений и найти фундаментальную систему решений

$%\begin{cases}x_1+2x_2-x_3+5x_4=0 \\x_1-x_2+2x_3-x_4=0\\-x_1-5x_2+4x_3-11x_4=0\end{cases} $%

Перепишем её в матричном виде:

$%\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 5 \\1 & -1 & 2 & -1\\-1 & -5 & 4 & -11\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{bmatrix}$%

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду: $%\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 5 \\1 & -1 & 2 & -1\\-1 & -5 & 4 & -11 \end{bmatrix} \sim $%

Умножим 1-ю строку на (-1). Добавим 1-ю строку ко 2-й строке:

$%\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 5\\0 & -3 & 3 & -6 \\-1 & -5 & 4 & -11 \end{bmatrix} \sim $%

Умножим 1-ю строку на (-1). Добавим 1-ю строку к 3-й строке:

$%\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 5\\0 & -3 & 3 & -6 \\0 & -3 & 3 & -6 \end{bmatrix} \sim $%

Последние две строки одинаковы, одну из них удалили.

$%\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 5\\0 & -3 & 3 & -6 \end{bmatrix} $%

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует $%(n-r)=2$% линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

$%\begin{cases}x_1+2x_2-x_3+5x_4=0\\-3x_2+3x_3-6x_4=0\end{cases} $%

Возьмём $%x_1$% и $%x_2$% в качестве главных переменных. Тогда:

$%\begin{cases}x_1=-x_3-x_4\\x_2=x_3-2x_4\end{cases} $%

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: $%x_3$% и $%x_4$%.

$%\begin{bmatrix} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \overrightarrow{x}^1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\\overrightarrow{x}^2 & -1 & -2 & 0 & 1\end{bmatrix} $%

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

$%\overrightarrow{x}_{OO}=С_1\begin{bmatrix} -1\\1\\1\\0 \end{bmatrix}+C_2\begin{bmatrix} -1\\-2\\0\\1 \end{bmatrix}$%

а векторы $%\overrightarrow{x}^1=\begin{bmatrix} -1\\1\\1\\0 \end{bmatrix},\overrightarrow{x}^2=\begin{bmatrix} -1\\-2\\0\\1 \end{bmatrix}$%

задан 10 Май '15 13:00

изменен 10 Май '15 21:26

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@s1mka: Базисных переменных - две (две строки) и свободных переменных - две $%(4-2=2)$%.

(10 Май '15 18:29) EdwardTurJ

@s1mka: Четвёртая строка снизу.

(10 Май '15 18:58) EdwardTurJ

@EdwardTurJ Так?

(10 Май '15 19:33) s1mka

@s1mka: O'key.

(10 Май '15 19:46) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,535
×991
×326

задан
10 Май '15 13:00

показан
397 раз

обновлен
10 Май '15 19:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru