Для неотрицательных $%a,b$% и $%c$% таких, что $%(a+b)(b+c)(c+a)>0,$% доказать неравенство: $$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\le3\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$$

задан 10 Май '15 19:02

изменен 10 Май '15 19:55

10|600 символов нужно символов осталось
2

Докажем неравенства: $$\frac{a^m+b^m}{a^n+b^n}+\frac{b^m+c^m}{b^n+c^n}+\frac{c^m+a^m}{c^n+a^n}\le3\frac{a^m+b^m+c^m}{a^n+b^n+c^n}\text{ для }m\ge n,$$ $$\frac{a^m+b^m}{a^n+b^n}+\frac{b^m+c^m}{b^n+c^n}+\frac{c^m+a^m}{c^n+a^n}\ge3\frac{a^m+b^m+c^m}{a^n+b^n+c^n}\text{ для }m\le n.$$ Запишем разность левой и правой частей неравенств в виде $$\frac{a^{3n}b^m+a^mb^{3n}+b^{3n}c^m+b^mc^{3n}+c^{3n}a^m+c^ma^{3n}}{(a^n+b^n)(b^n+c^n)(c^n+a^n)(a^n+b^n+c^n)}-$$ $$-\frac{a^{2n+m}b^n+a^nb^{2n+m}+b^{2n+m}c^n+b^nc^{2n+m}+c^{2n+m}a^n+c^na^{2n+m}}{(a^n+b^n)(b^n+c^n)(c^n+a^n)(a^n+b^n+c^n)}.$$ Неравенства следуют из неравенства Мюрхеда, но их можно и непосредственно доказать: $$a^{3n}b^m+a^mb^{3n}-a^{2n+m}b^n-a^nb^{2n+m}=a^mb^m(a^{2n}-b^{2n})(a^{n-m}-b^{n-m}).$$ Знак последнего выражения совпадает с знаком разности $%n-m$%.

ссылка

отвечен 16 Май '15 19:59

изменен 16 Май '15 20:08

10|600 символов нужно символов осталось
0

Представим неравенство в виде: $$ - \frac{{({x^4}y + {x^4}z - {x^3}{y^2} - {x^3}{z^2} - {x^2}{y^3} - {x^2}{z^3} + x{y^4} + x{z^4} + {y^4}z - {y^3}{z^2} - {y^2}{z^3} + y{z^4})}}{{(x + y)(y + z)(z + x)(x + y + z)}} \le0$$

Положим $%x,y,z > 0$%, знаменатель больше нуля а числитель не может быть отрицательным. Это можно либо доказать либо проверить в любой програмке. Равенство возможно, когда числитель равен нулю, получаем:

$$\eqalign{ & x = 0,\,\,\,y > 0,\,\,\,z = y \cr & x > 0,\,\,\,y = x,\,\,\,z = 0 \cr & x > 0,\,\,\,y = x,\,\,\,z = x \cr & x > 0,\,\,\,y = 0,\,\,\,z = x \cr} $$

Примечание: $%x = a,\,\,\,y = b,\,\,\,z = c$%

ссылка

отвечен 10 Май '15 23:13

изменен 11 Май '15 0:57

Было бы интересно понять, как и при помощи каких программ считается возможным проверять подобные вещи. Ведь это означало бы возможность простой "машинной" проверки неравенств такого типа.

(10 Май '15 23:52) falcao

@falcao: Такие программы могут существовать, например, когда неравенство можно свести к сумме квадратов (неравенство Коши, как известно, можно).

Но поскольку не всегда неравенство можно свести к сумме квадратов, то программе нужен алгоритм критерия и алгоритм сведения к сумме квадратов.

(11 Май '15 0:06) EdwardTurJ

@falcao например используя Mathematica можно задать вот такую команду - http://s015.radikal.ru/i332/1505/39/aa66257787e7.jpg Ответ: False значит при заданных $%x,y,z \ge 0$% неравенство не выполняется для $%x,y,z \in R$% Насчет того какой алгоритм в ней использован, затрудняюсь ответить но я знаю что над такими программами работает целая армия программистов в сотрудничестве с математиками.

(11 Май '15 0:44) night-raven

@void_pointer: решение в любом случае должно быть проверяемым. Если бы программа выдала некое тождество, из которого бы всё следовало, то это можно было бы считать решением. А когда только ответ -- это не решение. То, что сам факт верен, никто как бы не сомневается.

(11 Май '15 2:52) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×252

задан
10 Май '15 19:02

показан
1281 раз

обновлен
16 Май '15 20:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru