$% \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\-1 & 0 & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 1 & ... & 0 & 0\\... & ... & ... & ... & ...& ...& ...\\0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 0\end{bmatrix}= $%

Разложим по первой строке: $%\Delta_n = (-1)\times \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ...& ...& ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 0\end{bmatrix}= $%

Разложим по первому столбцу$%(-1)\times (-1)\begin{bmatrix} 0 & 1 & ... & 0 & 0\\ -1 & 0 & ... & 0& 0\\ ... & ...& ...& ...\\ 0 & 0 & ... & -1 & 0\end{bmatrix} $%

получим определитель того же вида, что и $%\Delta_n,$% но$% (n-2)$%-го порядка : $%\Delta_n=\Delta_{n-2}$%

Следовательно $%\Delta_n=\frac{1}{2}[1+(-1)^n]$%

Следовательно $%\Delta_n=1$%, для четного $%n$% , и $%\Delta_n=0$%, для нечетного $%n$%

задан 10 Май '15 20:12

изменен 11 Май '15 13:34

@s1mka: Это тот же ответ, только записанный одной формулой.

(11 Май '15 11:41) EdwardTurJ

@s1mka: при чётном $%n$% число $%(-1)^n$% равно 1, и ответ из учебника даёт $%\frac12(1+1)=1$%. При нечётном $%n$% число $%(-1)^n$% равно $%-1$%, и формула из ответа даёт 0. Это ровно то, что и было сказано.

(11 Май '15 12:02) falcao

@s1mka: нет, не совсем. Дело в том, что в левой части у нас всегда $%\Delta_n$%. Те определители, которые промежуточно возникают, никак не обозначаются. В конце выясняется, что в правой части получился $%\Delta_{n-2}$%. И там желательно для наглядности показать ещё одну строку.

(11 Май '15 12:21) falcao

@falcao так?

(11 Май '15 13:34) s1mka

@s1mka: O'key.

(11 Май '15 14:26) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
1

Разлагаем определитель по первой строке, получится определитель некий $%n-1$% порядка. В нем в первой строке два ненулевых элемента, по которым и разлагаем. В результате получим один определитель $%n-2$% порядка, идентичный по структуре исходному.

В результате "спуска" получим определитель первого или второго порядка, в зависимости от чётности $%n$%.

Ответ: $%0$% для нечётного $%n$% и $%1$% для чётного $%n$%.

ссылка

отвечен 10 Май '15 20:49

изменен 10 Май '15 23:21

После разложения по 1-й строке далее удобно разложить по 1-му столбцу.

(10 Май '15 21:29) falcao

@s1mka: после разложения по 1-й строке надо вычеркнуть строку и столбец. У Вас вместо этого получилась нулевая строка.

(10 Май '15 21:58) falcao

@s1mka: преобразования, сделанного в начале (с первой и третьей строкой) делать было не надо, так как это нарушает симметрию и всё запутывает. Разложения надо было сделать для изначальной матрицы. Тогда станет видно, что из матрицы $%n$%-го порядка получится такая же матрица, то $%(n-2)$%-го порядка. В ответе будет 0 при нечётном $%n$% и 1 при чётном.

@EdwardTurJ: там смены знака, насколько я могу судить, не происходит.

(10 Май '15 22:47) falcao

@falcao: Спасибо, подправил.

(10 Май '15 23:22) EdwardTurJ

@s1mka: столбец там ненулевой: под первым нулём там находится -1. Это равенство показывает, что $%\Delta_n=\Delta_{n-2}$%. Поэтому достаточно указать $%\Delta_1$% и $%\Delta_2$%, а потом всё будет периодически повторяться.

(11 Май '15 0:04) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,534
×983
×325

задан
10 Май '15 20:12

показан
425 раз

обновлен
11 Май '15 14:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru