$%C_n^1+C_n^4+C_n^7+...$%

Положим $%\xi=\frac{-1+i\sqrt3}{2}$%. Тогда $%\xi^2=\frac{-1-i\sqrt3}{2},$%

$%\xi^3=1, \xi^2+\xi+1=0$%

$%(1+1)^n+\xi(1+\xi^2)^n+\xi^2(1+\xi)^n=3(C_n^1+C_n^4+C_n^7+...)=2^n+\xi(-\xi)^n+\xi^2(-\xi^2)^n=$%

$%2^n+(-1)^n(\xi^{n+1}+\xi^{2n+2})$%

$%S=C_n^1+C_n^4+C_n^7+...=\frac{2^n+(-1)^n(\xi^{n+1}+\xi^{2n+2})}{3}$%

Рассмотреть шесть возможных остатков от деления на 6(шесть получается за счёт того, что степени числа $%(−1)$% имеют период $%2$%, а степени $%ξ$%- период $%3$%. Поэтому через 6 шагов всё периодически повторяется-для себя):

$%n=6k: S=\frac{2^n+(\xi+\xi^2)}{3}=\frac{2^n-1}{3}$%

$%n=6k+1: S=\frac{2^n-(\xi^2+\xi^4)}{3}=\frac{2^n+1}{3}$%

$%n=6k+2: S=\frac{2^n+(\xi^3+\xi^6)}{3}=\frac{2^n+2}{3}$%

$%n=6k+3: S=\frac{2^n-(\xi^4+\xi^8)}{3}=\frac{2^n+1}{3}$%

$%n=6k+4: S=\frac{2^n+(\xi^5+\xi^{10})}{3}=\frac{2^n-1}{3}$%

$%n=6k+5: S=\frac{2^n-(\xi^6+\xi^{12})}{3}=\frac{2^n-2}{3}$%

задан 11 Май '15 14:43

изменен 12 Май '15 8:35

Здесь надо упростить все степени, используя то, что $%\xi^3=1$%. Это значит, что $%\xi^4=\xi$%, $%\xi^5=\xi^2$%, $%\xi^6=1$%, и далее всё периодично.

Также не надо путать $%2^n$% и $%2n$%.

(11 Май '15 22:55) falcao

@falcao почему-то закономерность не получается, где я ошиблась?

(11 Май '15 23:33) s1mka

@s1mka: закономерность именно такая, как у Вас написано. То, что там где-то +1, где-то -2 -- это так и должно быть. Если бы было одно выражение, то не стали бы разделять на 6 случаев. Оформлять больше ничего не надо, так как ответ уже дан. Иногда "разветвлённые" ответы такого типа записывают через фигурную скобку -- примерно как при определении модуля. Но это излишне. Надо только удалить последнее предложение, где идёт перемножение -- это в принципе не соответствует действительности. А остальное -- верно.

(11 Май '15 23:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,498
×938
×925

задан
11 Май '15 14:43

показан
377 раз

обновлен
12 Май '15 8:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru