alt text

задан 11 Май '15 16:36

10|600 символов нужно символов осталось
2

Определителем матрицы из полной линейной группы $%GL_n(\mathbb C)$% является ненулевое комплексное число. Если это число разделить на его модуль, то получится комплексное число, по модулю равное единице. Рассмотрим соответствующее отображение $%A\mapsto\frac{\det A}{|\det A|}$%. Оно является гомоморфизмом групп, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, и модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей: $%AB\mapsto\frac{\det(AB)}{|\det(AB)|}=\frac{\det A}{|\det A|}\cdot\frac{\det B}{|\det B|}$%.

Ядро данного гомоморфизма состоит из матриц, переходящих в единицу, то есть таких, для которых $%\det A=|\det A|$%. Ненулевые комплексные числа, совпадающие со своим модулем -- это в точности положительные действительные числа. Это значит, что подгруппа $%H$% является ядром.

По теореме о гомоморфизмах, факторгруппа по ядру изоморфна образу. Легко видеть, что гомоморфизм сюръективен. Действительно, если $%|z|=1$%, то рассмотрим диагональную матрицу $%A$% с элементами $%1$%, $%1$%, ... , $%1$%, $%z$%. Её определитель равен $%z$%, и она отображается на число $%z/|z|=z$%. Таким образом, факторгруппа $%GL_n(\mathbb C)/H$% изоморфна той группе, которая описана в условии. Геометрическая реализация этой группы -- единичная окружность на комплексной плоскости.

ссылка

отвечен 11 Май '15 22:23

@falcao Вроде, все понял, кроме самого отображения в начале. Что переводит данная функция? Просто, я знаю, что отображение это конкретная функция. Не очень понимаю, как работает функция, определенная таким образом. То есть мы переводим определенную матрицу в определенное комплексное число?

(15 Май '15 3:19) Andrew
1

@Andrew: да, именно так. Отображение каждой невырожденной комплекснозначной матрице сопоставляет определённое комплексное число по указанному правилу.

(15 Май '15 3:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,595
×640

задан
11 Май '15 16:36

показан
434 раза

обновлен
15 Май '15 3:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru